Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây - trang 71 Toán 9 Tập 2
Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 71: Hãy chứng minh định lý trên.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh: Cung AB = Cung CD ⇒ AB = CD
Từ cung AB = cung CD ⇒ ∠ (AOB) = ∠ (COD)
Xét Δ OAB và Δ OCD có:
OA = OC = R
∠ (AOB) = ∠ (COD)
OB = OD = R
⇒ Δ OAB = Δ OCD (c. g. c)
⇒ AB = CD
b) Chứng minh: AB = CD ⇒ cung AB = cung CD
Xét Δ OAB và Δ OCD có:
OA = OC = R
AB = CD (gt)
OB = OD = R
⇒ Δ OAB = Δ OCD (c. c. c)
⇒ ∠ (AOB) = ∠ (COD)
⇒ cung AB = cung CD
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 71: Xem hình 11.
Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý
(Không yêu cầu chứng minh định lý này)
Hướng dẫn giải:
a) cung AB > cung CD ⇒ cung AB > cung CD
b) cung AB > cung CD ⇒ cung AB > cung CD
Bài 10 (trang 71 SGK Toán 9 tập 2):
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60o. Hỏi dây AB dài bao nhiêu centimet?
b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12?
Hình 12
Hướng dẫn giải:
a)
+ Dùng compa vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm.
+ Trên đường tròn lấy điểm A. Vẽ góc
Khi đó ta được cung AB có số đo bằng 60º.
+ ΔAOB có OA = OB, Ô = 60º
⇒ ΔAOB đều
⇒ AB = OA = OB = R = 2cm.
b) Cách chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:
+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.
+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.
+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.
+ Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại D và E.
+ Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn tại F.
Bài 11 trang 72 SGK Toán 9 Tập 2: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O').
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng mình rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: 
)
Hướng dẫn giải:
a) Vì A, B,C ∈ (O)
⇒ BO = OA = OC
⇒ BO = AC/2.
Δ ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một phần hai độ dài cạnh tương ứng AC
=> Δ ABC là tam giác vuông tại B (định lí)
⇒ 
Chứng minh tương tự
Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD. (AC, AD lần lượt là bán kính của (O) và (O’))
Xét hai tam giác vuông ABC và ABD có:
AB chung
AC = AD
⇒ ΔABC = ΔABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ BC = BD (hai cạnh tương ứng)
⇒ 
( định lý)
b) Xét Δ AED có đường trung tuyến EO' bằng một phần hai cạnh tương ứng là AD (O'E = O'A = O'D = AD/2)
=> Δ AED vuông tại E
⇒ 
⇒ Δ ECD vuông tại E.
Ta có:
Suy ra: C, B, D thẳng hàng.
Δ ECD vuông có EB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (Vì BC = BD câu (a))
⇒ EB = BD (CD/2).
⇒ 
(định lý) hay B là điểm chính giữa cung 
+ Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau thì hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Bài 12 trang 72: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H ∈ BC, K ∈ BD)
a) Chứng minh rằng OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Hướng dẫn giải:
a) Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)
Mà AD = AC (gt)
⇒ BC < AB + AD = BD
Mà OH là khoảng cách từ O đến dây BC
OK là khoảng cách từ O đến dây BD
⇒ OH > OK. ( định lý về khoảng cách từ tâm đến dây) (đpcm)
b) Vì BD > BC
⇒ 
+ Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Trong một đường tròn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Bài 13 trang 72: Chứng minh rằng: trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Vẽ đường tròn tâm O, các dây cung AB // CD.
Cần chứng minh 
Cách 1:
Kẻ bán kính MN // AB // CD
MN // AB
+ TH1: AB và CD cùng nằm trong một nửa đường tròn.
.
+ TH2: AB và CD thuộc hai nửa đường tròn khác nhau.
Cách 2:
Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD)
Vì AB // CD ⇒ O, H, K thẳng hàng.
ΔOAB có OA = OB
⇒ ΔOAB cân tại O
⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác
⇒ 
Chứng minh tương tự:
Kiến thức áp dụng:
+ Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
+ Trong cùng một đường tròn, hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau, tức là góc ở tâm chắn hai cung đó bằng nhau.
Bài 14 trang 72:
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.
Hướng dẫn giải:
a)
Vẽ đường tròn tâm O, dây cung AB.
Gọi I là điểm chính giữa của cung AB.
Gọi OI ∩ AB = H.
ΔAOH và ΔBOH có: AO = OB, 
; OH chung
⇒ ΔAOH = ΔBOH (c-g-c)
⇒ AH = BH (hai cạnh tương ứng)
⇒ OI đi qua trung điểm H của AB.
+ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó.
Mệnh đề sai
Ví dụ: Chọn dây cung AB là một đường kính của (O) (AB đi qua O). Khi đó, tồn tại đường kính CD đi qua O là trung điểm của AB nhưng C, D không phải là điểm chính giữa cung AB (hình vẽ)
Mệnh đề đảo chỉ đúng khi dây cung AB không phải đường kính.
b)
+ Cho đường tròn (O); dây cung AB;
I là điểm chính giữa cung 
, H = OI ∩ AB.
⇒ ΔAOH = ΔBOH (cm phần a).
⇒ OH ⊥ AB.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.
+ Cho đường tròn (O); dây cung AB.
Kẻ đường thẳng OH ⊥ AB (H ∈ AB) cắt đường tròn tại I.
Ta có: ΔABO cân tại O (vì AO = OB = R).
⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác
⇒ I là điểm chính giữa của cung 
Vậy đường kính vuông góc với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.
+ Điểm chính giữa cung là điểm chia cung thành hai cung bằng nhau.