Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau - trang 113 Toán 9 Tập 1

a) Ta có: AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên Δ ABC cân tại A.

Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).

Xét Δ CBD có:

CI = IB

CO = OD (bán kính)

⇒ BD // HO (HO là đường trung bình của BCD) ⇒ BD // AO.

c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC:

AC² = OA² – OC² = 4² – 2² = 12

=> AC = √ 12 = 2√ 3 (cm)

Do đó AB = BC = AC = 2√ 3 (cm).

Bài 27 (trang 115): Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

DM = DB, EM = EC, AB = AC

Chu vi Δ ADE:

C_{Δ ADE} = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)

Bài 28 (trang 116): Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?

Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

Hay AO là tia phân giác của góc xAy.

Vậy tâm các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.

Bài 29 (trang 116): Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.

Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy. . Do đó ta có cách dựng:

- Dựng tia phân giác At của góc xAy.

- Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax.

- Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.

Bài 30 (trang 116): Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

a) ∠ COD = 90^o

b) CD = AC + BD

c) Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

OC là tia phân giác của ∠ AOM

OD và tia phân giác của ∠ BOM

OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù ∠ AOM và ∠ BOM nên OC ⊥ OD.

=> ∠ COD = 90^o (đpcm)

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CM = AC, DM = BC

Do đó: CD = CM + DM = AC + BD (đpcm)

c) Ta có: AC = CM, BD = DM nên AC. BD = CM. MD

Δ COD vuông tại O, ta có:

CM. MD = OM² = R² (R là bán kính đường tròn O).

Vậy AC. BD = R² (không đổi).