Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Trang 8 Toán 9 Tập 2

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 8: Kiểm tra rằng cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Ta có: 2.2 + (-1) = 3 ⇒ Cặp số (x; y) = (2; -1) là nghiệm của phương trình 2x + y = 3

2 – 2. (-1) = 3 ⇒ Cặp số (x; y) = (2; -1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4

Vậy cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 9: Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x_o; y_o) của điểm M là một … của phương trình ax + by = c.

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x_o; y_o) của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 10: Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm? Vì sao?

Hệ phương trình trong ví dụ 3 có vô số nghiệm vì tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng y = 2x – 3

Các bài giải bài tập Toán 9 Tập 2 khác:

Bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2

a)

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

b)

Xét (d): có a = ; b = 3

(d’): có a’ = ; b’ = 1.

⇒ Hệ phương trình vô nghiệm.

c) Ta có:

Xét (d): y = x có a = ; b = 0

(d’): y = x có a’ = ; b’ = 0

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

+ Xét hệ (I):

Gọi (d): ax + b = c và (d’): a’x + b’ = c’.

Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (d’).

(d) cắt (d’) ⇒ hệ (I) có nghiệm duy nhất.

(d) // (d’) ⇒ hệ (I) vô nghiệm

(d) ≡ (d’) ⇒ hệ (I) có vô số nghiệm.

+ Cho đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.

(d) cắt (d’) nếu a ≠ a’

(d) // (d’) nếu a = a’ và b ≠ b’

(d) trùng (d’) nếu a = a’ và b = b’.

Bài 5 (trang 11 SGK Toán 9 tập 2): Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) Xét hệ (I):

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x – y = 1 và (d’): x – 2y = -1 trên mặt phẳng tọa độ. Tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (d’) chính là nghiệm của hệ (I).

+ Xét đường thẳng (d): 2x – y = 1 hay (d): y = 2x – 1

Chọn x = 0 ⇒ y = -1.

Chọn y = 0 ⇒ x =

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; -1) và

+ Xét (d’): x – 2y = -1 hay (d’):

Chọn x = 0 ⇒ y =

Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm và (-1; 0).

Ta vẽ đồ thị hàm số như sau:

Dựa vào đồ thị thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 1).

Thử lại, thay x =1, y=1 vào các phương trình của hệ (I) ta được:

Vậy hệ phương trình (I) có một nghiệm là (1; 1)

b) Xét (II):

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x + y = 4 và (d’): -x + y = 1 trên mặt phẳng tọa độ. Tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (d’) chính là nghiệm của hệ (II).

+ Xét (d): 2x + y = 4 hay (d): y = -2x + 4

Chọn x = 0 ⇒ y = 4

Chọn y = 0 ⇒ x = 2.

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).

+ Xét (d’): -x + y = 1 hay (d’): y = x + 1.

Chọn x = 0 ⇒ y = 1

Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).

Nhận thấy (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 2).

Thử lại, thay x =1, y=2 vào các phương trình của hệ (II) ta được:

Vậy hệ phương trình (II) có một nghiệm là (1; 2).

Bài 6 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2: Đố:

Bài 7 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2

Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

a)

+ Xét phương trình 2x + y = 4 (1) ⇔ y = -2x + 4

Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát là (x; -2x + 4) (x ∈ R).

+ Xét phương trình 3x + 2y = 5 (2) ⇔

Vậy phương trình (2) có nghiệm tổng quát là: (x ∈ R).

b) Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng (d):

y = -2x + 4.

Chọn x = 0 ⇒ y = 4

Chọn y = 0 ⇒ x = 2.

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (2) là đường thẳng (d’):

Chọn x = 0 ⇒ y = 2,5.

Chọn y = 0 ⇒

⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 2,5) và

Hai đường thẳng cắt nhau tại A (3; -2).

Vậy (3; -2) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).

Bài 8 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d): x = 2 song song với trục tung.

Đường thẳng (d’): 2x – y = 3 không song song với trục tung

⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

Vẽ (d): x = 2 là đường thẳng đi qua (2; 0) và song song với trục tung.

Vẽ (d’): 2x - y = 3

- Cho x = 0 ⇒ y = -3 được điểm (0; -3).

- Cho y = 0 ⇒ x = 1,5 được điểm (1,5; 0).

Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (2; 1).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).

Đường thẳng (d): x + 3y = 2 không song song với trục hoành

Đường thẳng (d’): 2y = 4 hay y = 2 song song với trục hoành

⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vẽ (d1): x + 3y = 2

- Cho y = 0 ⇒ x = 2 được điểm (2; 0).

- Cho x = 0 ⇒ y = được điểm (0; ).

Vẽ (d2): y = 2 là đường thẳng đi qua (0; 2) và song song với trục hoành.

Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (-4; 2).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).

Bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Hướng dẫn giải:

a) (I):

Xét (d): x + y = 2 hay (d): y = -x + 2 có a = -1; b = 2.

(d’) 3x + 3y = 2 hay (d’): y = -x + có a’ = -1; b’ =

Ta có: a = a’; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (I) vô nghiệm.

b) (II):

Xét: (d): 3x – 2y = 1 hay (d):

(d’): -6x + 4y = 0 hay (d’):

Ta có: a = a’; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (II) vô nghiệm.

Kiến thức áp dụng

+ Xét hệ (I):

Gọi (d): ax + b = c và (d’): a’x + b’ = c’.

Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (d’).

(d) cắt (d’) ⇒ hệ (I) có nghiệm duy nhất.

(d) // (d’) ⇒ hệ (I) vô nghiệm

(d) ≡ (d’) ⇒ hệ (I) có vô số nghiệm.

+ Cho đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.

(d) cắt (d’) nếu a ≠ a’

(d) // (d’) nếu a = a’ và b ≠ b’

(d) trùng (d’) nếu a = a’ và b = b’.

Bài 10 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Hướng dẫn giải:

a)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

b)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Kiến thức áp dụng

+ Xét hệ (I):

Gọi (d): ax + b = c và (d’): a’x + b’ = c’.

Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (d’).

(d) cắt (d’) ⇒ hệ (I) có nghiệm duy nhất.

(d) // (d’) ⇒ hệ (I) vô nghiệm

(d) ≡ (d’) ⇒ hệ (I) có vô số nghiệm.

+ Cho đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.

(d) cắt (d’) nếu a ≠ a’

(d) // (d’) nếu a = a’ và b ≠ b’

(d) trùng (d’) nếu a = a’ và b = b’.

Bài 11 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2

Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Nếu một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt

⇒ Hệ đó có vô số nghiệm.

Vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của hệ có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.

Kiến thức áp dụng

Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.