Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức - trang 8 Toán 9 Tập 1

(vì 2 - √ 3 > 0 do 2 = √ 4 mà √ 4 > √ 3)

(vì √ 11 - 3 > 0 do 3 = √ 9 mà √ 11 > √ 9)

c) 2√ a² = 2|a| = 2a với a ≥ 0

(vì a < 2 nên 2 – a > 0)

Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:

Bài giải:

a) √ x² = 7 ⇔ |x| = 7

⇔ x₁ = 7 và x₂ = -7

b) √ x² = |-8| ⇔ √ x² = 8

⇔ |x| = 8 ⇔ x₁ = 8 và x₂ = -8

⇔ |x| = 3 ⇔ x₁ = 3 và x₂ = -3

⇔ |3x| = 12 ⇔ |x| = 4

⇔ x₁ = 4 và x₂ = -4

Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:

Bài giải:

a) Ta có: VT = (√ 3 - 1)² = (√ 3)² - 2√ 3 + 1

= 3 - 2√ 3 + 1 = 4 - 2√ 3 = VP

Vậy (√ 3 - 1)² = 4 - 2√ 3 (đpcm)

b) Theo câu a) ta có:

= |√ 3 - 1| - √ 3 = √ 3 - 1 - √ 3

= -1 = VP (vì √ 3 - 1 > 0) (đpcm)

Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

Bài giải:

= 4.5 + 14: 7 = 20 + 2 = 22

= 36: 18 – 13 = - 11

Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

Bài giải:

2x + 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -7

-3x + 4 ≥ 0 ⇔ -3x ≥ -4

Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

Bài giải:

a) 2√ a² - 5a = 2|a| - 5a

= -2a - 5a = -7a (do a < 0 nên |a| = -a)

b) √ 25a² + 3a = 5|a| + 3a = 5a + 3a = 8a

(do a ≥ 0 nên |a| = a)

c) √ 9a⁴ + 3a² = √ (3a²)² + 3a²

= |3a²| + 3a² = 3a² + 3a² = 6a²

(do a² ≥ 0 với mọi a nên |3a²| = 3a²)

d) 5√ 4a⁶ - 3a³ = 5√ (2a³)² - 3a³

= 5|2a³| - 3a³

Với a < 0 thì |2a³| = – 2a³ nên

5|2a³| - 3a³ = -10a³ - 3a³ = -13a³

Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:

a) x² – 3 ; b) x² – 6

c) x² + 2√ 3 x + 3; d) x² - 2√ 5 x + 5

Hướng dẫn: Dùng kết quả:

Với a ≥ 0 thì a = (√ a)²

Bài giải:

a) x² - 3 = x² - (√ 3)² = (x - √ 3) (x + √ 3)

b) x² - 6 = x² - (√ 6)² = (x - √ 6) (x + √ 6)

c) x² + 2√ 3 x + 3 = x² + 2√ 3 x + (√ 3)²

= (x + √ 3)²

d) x² - 2√ 5 x + 5 = x² - 2√ 5 x + (√ 5)²

= (x - √ 5)²

Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Giải các phương trình sau:

a) x² – 5 = 0 ; b) x² – 2√ 11 x + 11 = 0

Bài giải:

a) x² – 5 = 0 ⇔ x² = 5 ⇔ x₁ = √ 5; x₂ = -√ 5

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = √ 5; x₂ = -√ 5

Cách khác:

x² – 5 = 0 ⇔ x² – (√ 5)² = 0

⇔ (x - √ 5) (x + √ 5) = 0

hoặc x - √ 5 = 0 ⇔ x = √ 5

hoặc x + √ 5 = 0 ⇔ x = -√ 5

b) x² – 2√ 11 x + 11 = 0

⇔ x² – 2√ 11 x + (√ 11)² = 0

⇔ (x - √ 11)² = 0

⇔ x - √ 11 = 0 ⇔ x = √ 11

Vậy phương trình có một nghiệm là x = √ 11

Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1): Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây:

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

m² + V² = V² + m²

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

m² – 2mV + V² = V² – 2mV + m²

hay (m - V)² = (V - m)².

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

√ (m - V)² = √ (V - m)²

Do đó m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Bài giải:

Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của (m – V)² = (V – m)² ta phải được kết quả |m – V| = |V – m| chứ không thể có m – V = V – m (theo hằng đẳng thức √ A² = |A|.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.