Bài tập ôn cuối năm (Phần Đại Số - Phần Hình Học) - SGK Toán 9 tập 2

Bài 3 (trang 132): Giá trị của biểu thức

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Giá trị biểu thức bằng:

Đáp án đúng là: D.

Bài 4 (trang 132):

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 0

Bài 5 (trang 132): Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x > 0, x ≠ 1.

Ta có:

Bài 6 (trang 132): Cho hàm số y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Đi qua hai điểm A (1; 3) và B (-1; -1).

b) Song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm C (1; 2).

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A (1; 3) và B (-1; -1)

Vậy a = 2; b = 1; hàm số y = 2x + 1.

b) y = ax + b song song với y = x + 5

⇒ a = 1.

Đồ thị hàm số đi qua C (1; 2) ⇔ 2 = a. 1 + b ⇔ a + b = 2 ⇒ b = 1.

Vậy a = 1; b = 1.

Bài 7 (trang 132): Cho hai đường thẳng:

y = (m + 1)x + 5 (d₁)

y = 2x + n (d₂)

Với giá trị nào của m và n thì:

a) d₁ trùng với d₂?

b) d₁ cắt d₂?

c) d₁ song song với d₂?

Hướng dẫn giải:

a) Để d₁ trùng d₂

Vậy m = 1, n = 5

b) Để d₁ cắt d₂ thì: m + 1 ≠ 2 ⇒ m ≠ 1

c) Để d₁ song song d₂

Vậy m = 1, n ≠ 5.

Bài 8 (trang 132): Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.

Hướng dẫn giải:

Giả sử đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 đi qua điểm cố định M (x₀; y₀)

Vậy điểm cố định mà đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 đi qua là

Bài 9 (trang 133): Giải các hệ phương trình:

Hướng dẫn giải:

Bài 10 (trang 133): Giải các hệ phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 1.

Đặt (u, v ≥ 0).

Hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 2).

b) Đặt (x – 1)² = u, u ≥ 0.

Hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

Bài 11 (trang 133): Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi giá.

Hướng dẫn giải:

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x (cuốn)

Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn), (x, y∈ N*; x> 50, x< 450, y< 450)

Hai giá sách có tất cả 450 cuốn nên x+ y = 450 (1)

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất khi đó là x- 50 và số sách ở giá thứ hai là y+ 50

Theo đầu bài ta có:

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 quyển, giá thứ hai là 150 quyển.

Bài 12 (trang 133): Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc theo thứ tự là x, y (km/h) (x, y > 0)

* Lúc đi từ A đến B qua C: Đoạn lên dốc dài 4km và đoạn xuống dốc dài 5km

Thời gian đi lên dốc là (h), thời gian xuống dốc là: (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 40 phút = h nên:

* Lúc đi từ B đến A qua C: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là (h), thời gian xuống dốc là: (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 41 phút = h nên:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đặt:

hệ phương trình trên trở thành:

Vậy vậy tốc độ lúc lên dốc là 12km/h, vận tốc lúc xuống dốc là 15km/h.

Bài 13 (trang 133): Xác định hệ số a của hàm y = ax², biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A (-2; 1).Vẽ đồ thị của hàm số đó.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số đi qua A (-2; 1) ⇒ 1 = a. (-2)²

⇒

Vậy hàm số:

x	-4	-2	0	2	4
	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số:

Bài 14 (trang 133): Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 3x² – ax – b = 0.

Tổng x₁ + x₂ bằng:

Hãy chọn câu trả lời đúng

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

S = x₁ + x₂ = - (-a/3) = a/3

Vậy chọn đáp án B

Bài 15 (trang 133): Hai phương trình x² + ax + 1 = 0 và x² - x - a = 0 có một nghiệm thực chung khi a bằng:

(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn giải:

Nghiệm chung x (nếu có) của hai phương trình là nghiệm của hệ:

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

ax + 1+ x+ a = 0

⇔ (ax+ x) + (1+ a) =0

⇔ (a+ 1).x+ (1+ a) = 0

⇔ (a+ 1). (x+1)=0

⇔ a = - 1 hoặc x= -1

* Với a = -1 thay vào (2) ta được: x²- x + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm

vì ∆= (-1)² – 4.1.1= - 3 < 0

nên loại a = -1.

*Thay x = -1 vào (2) suy ra a = 2.

Vậy với a = 2 thì phương trình có nghiệm chung là x = -1

Vậy chọn câu C.

Bài 16 (trang 133): Giải các phương trình:

a) 2x³ - x² + 3x + 6 = 0; b) x (x+1)(x+4)(x+5) = 12

Hướng dẫn giải:

b) x. (x+1). (x+ 4). (x+ 5) = 12

⇔ [x. (x + 5)]. [ (x+1). (x+ 4)] = 12

⇔ (x² + 5x). (x² + 4x + x + 4) – 12=0

⇔ (x² + 5x). (x²+ 5x + 4) -12 = 0 (*)

Đặt t= x² + 5x + 2

=> x² + 5x = t – 2 và x² + 5x+ 4 = t+ 2

Khi đó phương trình (*) trở thành:

(t – 2). (t+ 2) - 12 = 0

⇔ t² – 4 – 12 = 0

⇔ t² – 16 = 0

⇔ t² = 16 ⇔ t= ±4

+ Với t = 4 ta có: x² + 5x + 2 = 4

⇔ x² +5x – 2 = 0 (**)

Có a= 1, b = 5, c = - 2 và ∆ = 5² – 4.1. (-2) = 33 > 0

Nên (**) có 2 nghiệm phân biệt là:

* Với t = - 4 ta có: x² + 5x + 2= - 4

⇔ x² + 5x + 6 = 0 (***)

Có a= 1, b = 5, c= 6 và ∆ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0

Phương trình (***) có 2 nghiệm là:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 17 (trang 133): Một lớp học có 40 học sinh được xếp ngồi đều nhau trên các ghế băng. Nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh. Tính số ghế băng lúc đầu.

Hướng dẫn giải:

Gọi số băng lúc đầu là x (ghế băng), (x∈N*, x> 2)

Số học sinh ngồi trên mỗi ghế là (học sinh).

Khi bớt đi 2 ghế băng thì còn lại x- 2 (ghế băng) và khi đó, mỗi ghế có học sinh ngồi.

Theo giả thiết, nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh nên ta có phương trình:

⇔ 40 x – x (x -2) = 40 (x- 2)

⇔ 40x – x² + 2x = 40x – 80

⇔ - x² + 2x + 80 = 0

Có a = -1, b= 2; c = 80 và ∆ = 2² – 4. (-1). 80 = 324

Nên phương trình trên có 2 nghiệm là: x1 = -8 (loại) và x2 =10 (thỏa mãn)

Vậy lúc đầu có 10 ghế băng.

Bài 18 (trang 133): Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x (cm), y (cm)

( 0 < y < x < 10)

Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm nên ta được x – y = 2, (1).

Theo định lý Pytago ta có: x² + y² = 10² = 100 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Từ (1) suy ra: x= y+ 2 thay vào (2) ta được:

( y + 2)² + y² = 100

⇔ y²+ 4y + 4 + y² = 100

⇔ 2y² + 4y – 96 = 0 hay y² + 2y – 48 = 0

Giải ra ta được: y₁ = 6; y₂ = -8 < 0 (loại)

Với y= 6 suy ra x = 8.

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm.

B - Phần Hình Học

Bài 1 (trang 134 SGK Toán 9 tập 2): Chu vi hình chữ nhật ABCD là 20cm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo AC.

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (x > 0, cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20: 2 = 10 (cm)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là: 10 – x (cm).

Theo định lý Pytago ta có:

AC² = x² + (10 – x)²

= x² + 100 – 20x + x²

= 2x² – 20x + 100

= 2 (x² – 10x + 25) + 50

= 2. (x – 5)² + 50 ≥ 50.

⇒ AC ≥ 5√2

Dấu "=" xảy ra khi (x – 5)² = 0 ⇔ x = 5.

Vậy đường chéo AC nhỏ nhất là 5√2cm khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5cm.

Bài 2 (trang 134): Tam giác ABC có góc B = 45^o, góc C = 30^o. Nếu AC = 8 thì AB bằng:

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn giải:

Bài 3 (trang 134): Cho tam giác ABC vuông ở C có đường trung tuyến BN vuông góc với đường trung tuyến CM, cạnh BC = a. Tính độ dài đường trung tuyến BN.

Hướng dẫn giải:

Bài 4 (trang 134): Nếu tam giác ABC vuông tại C và có sinA = 2/3 thì tgB bằng:

Hướng dẫn giải:

Bài 5 (trang 134): Tam giác ABC vuông tại C có AC = 15cm. Đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH và HB. Biết HB = 16cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Bài 6 (trang 134): Một hình chữ nhật cắt đường tròn như hình 121 biết AB = 4, BC = 5, DE = 3 (với cùng đơn vị đo).

Độ dài EF bằng:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm đường tròn. Từ O kẻ bán kính vuông góc với BC, cắt BC ở G, cắt EF ở H.

Ta có: G, H lần lượt là trung điểm BC và EF.

BG = BC/2 = 2,5

⇒ AG = AB + BG = 6,5

⇒ DH = AG = 6,5

⇒ EH = DH – DE = 3,5

⇒ EF = 2. EH = 7.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7 (trang 134): Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc DOE = 60^o.

a) Chứng minh tích BD. CE không đổi.

b) Chứng minh Δ BOD

Δ OED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Hướng dẫn giải:

c) Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R.

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB.

⇒ R = OH.

O ∈ đường phân giác của

⇒ OH = OK.

⇒ OH = R

⇒ DE tiếp xúc với (O; R) (đpcm).

Bài 8 (trang 134): Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài (R > r). Hai tiếp tuyến chung AB và A'B' của hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại P (A và A' thuộc đường tròn (O'), B và B' thuộc đường tròn (O)). Biết PA = AB = 4 cm. Tính diện tích hình tròn (O').

Hướng dẫn giải:

(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

⇒ OO’ = R + r.

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB

⇒ Δ PAO’

Δ PBO

⇒ OB = 2. O'A hay R = 2. r

và OP = 2. O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3. r

Δ O’AP vuông tại A nên: O’P² = O’A² + AP²

⇔ (3r)² = r² + 4² ⇔ 8r² = 16 ⇔ r² = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π. r² = 2π (cm²).

Bài 9 (trang 135): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O') và ngoại tiếp đường tròn (O). Tia AO cắt đường tròn (O') tại D. Ta có:

(A) CD = BD = O'D; (B) AO = CO = OD

(C) CD = CO = BD; (D) CD = OD = BD

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn giải:

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

(hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

+ đều là các góc nội tiếp chắn

ΔOAB có:

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC = DO.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 10 (trang 135): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x + 75^o, 2x + 25^o, 3x - 22^o. Một góc của tam giác ABC có số đo là:

(A) 57^o5; (B) 59^o; (C) 61^o; (D) 60^o

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn giải:

Các cung tạo thành một đường tròn

⇒ x + 75º + 2x + 25º + 3x – 22º = 360º

⇒ 6x = 282º

⇒ x = 47º.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 11 (trang 135): Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PAB và PCD tới đường tròn. Gọi Q là một điểm nằm trên cung nhỏ BD (không chứa A và C) sao cho

Hướng dẫn giải:

Bài 12 (trang 135): Một hình vuông và một hình tròn có chu vi bằng nhau. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn?

Hướng dẫn giải:

* Lưu ý:

+ Trong tất cả các hình phẳng kín có cùng chu vi, hình tròn có diện tích lớn nhất.

Bài 13 (trang 135): Cho đường tròn (O), cung BC có số đo bằng 120^o, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Hỏi điểm D di chuyển trên đường nào?

Hướng dẫn giải:

⇒ D nằm trên cung chứa góc 30⁰ dựng trên đoạn BC.

+ Khi A ≡ C thì D ≡ C, khi A ≡ B thì D ≡ E (BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).

Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chứa góc 30º dựng trên BC.

Bài 14 (trang 135): Dựng tam giác ABC, biết BC = 4cm, góc A = 60^o, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1cm.

Hướng dẫn giải:

Phân tích:

Giả sử dựng được Δ ABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

⇒ O thuộc cung m 120º dựng trên đoạn BC.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC bằng 1

⇒ O cách BC 1cm

⇒ O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung m và đường thẳng d.

+ Khi đó ta dựng được đường tròn (O; 1) nội tiếp Δ ABC

⇒ A là giao của tiếp tuyến đi qua B và C của đường tròn (O; 1).

Cách dựng:

+ Dựng BC = 4cm

+ Dựng đường thẳng (d) song song với BC và cách BC một khoảng là 1 cm.

+ Dựng cung m chứa góc 120º trên đoạn BC.

+ (d) cắt cung m tại O.

+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính 1cm.

+ Kẻ tiếp tuyến từ B và C đến (O; 1cm).

Hai tiếp tuyến cắt nhau tại A.

Δ ABC là tam giác cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm.

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

⇒ (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

⇒ (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

⇒ (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp Δ ABC

Vậy Δ ABC có BC = 4cm,

, đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình Δ ABC và Δ A’BC như hình vẽ.

Bài 15 (trang 135): Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh:

a) BD² = AD. CD

b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp

c) BC song song với DE

Hướng dẫn giải:

b) ΔABC cân tại A

⇒ AB = AC

là các góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên ta có:

⇒ D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau

⇒ BCDE là tứ giác nội tiếp.

c. Tứ giác BCDE nội tiếp

⇒ BC // DE (hai góc đồng vị bằng nhau).

Bài 16 (trang 135): Một mặt phẳng chứa trụ OO' của một hình trụ; phần mặt phẳng nằm trong hình trụ là một hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó.

Hướng dẫn giải:

Xét hai trường hợp:

a) Đường cao hình trụ bằng 3cm, đường kính đáy trụ bằng 2cm (hình a)

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1cm.

S_xq = 2πRh = 2π. 1.3 = 6π (cm²)

V = πR²h = π. 1².3 = 3π (cm³)

b) Đường cao hình trụ bằng 2cm, đường kính đáy trụ bằng 3cm

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1,5 cm

S_xq = 2πRh = 2π. 1,5.2 = 6π (cm²)

V = πR²h = π. (1,5)².2 = 4,5π (cm³)

Bài 17 (trang 135): Khi quay tam giác ABC vuông ở A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng BC = 4dm, góc ACB = 30^o. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

Hướng dẫn giải:

Bài 18 (trang 1352): Một hình cầu có số đo diện tích (đơn vị: m²) bằng số đo thể tích (đơn vị: m³). Tính bán kính hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

Hướng dẫn giải: