Trang chủ > Lớp 9 > Giải Toán 9 > Luyện tập trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Luyện tập trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 29 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x2 + 2x – 5 = 0;

b) 9x2 – 12x + 4 = 0;

c) 5x2 + x + 2 = 0;

d) 159x2 – 2x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình 4x2 + 2x – 5 = 0

Có a = 4; b = 2; c = -5, a. c < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x1; x2

Theo hệ thức Vi-et ta có:

b) Phương trình 9x2 – 12x + 4 = 0

Có a = 9; b' = -6; c = 4 ⇒ Δ’ = (-6)2 – 4.9 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm kép x1 = x2.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

c) Phương trình 5x2 + x + 2 = 0

Có a = 5; b = 1; c = 2 ⇒ Δ = 12 – 4.2.5 = -39 < 0

⇒ Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình 159x2 – 2x – 1 = 0

Có a = 159; b = -2; c = -1; a. c < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Kiến thức áp dụng:

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, có Δ = b2 – 4ac.

+ Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

+ Nếu Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.  

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có a và c trái dấu, tức là a. c < 0 thì luôn có hai nghiệm phân biệt.  

Bài 30 trang 54: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) x2 – 2x + m = 0;

b) x2 + 2 (m – 1)x + m2 = 0.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình x2 – 2x + m = 0

Có a = 1; b = -2; c = m nên b’= -1

⇒ Δ’ = (-1)2 – 1. m = 1 – m

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1.

Khi đó, theo định lý Vi-et:

Vậy với m ≤ 1, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng 2 và có tích bằng m.

b) Phương trình x2 + 2 (m – 1)x + m2 = 0

Có a = 1; b = 2 (m – 1); c = m2 nên b’ = m-1

⇒ Δ’ = b'2 – ac = (m – 1)2 – m2 = - 2m + 1.

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ - 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/2.

Khi đó, theo định lý Vi-et:

Vậy với m ≤ ½, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng -2 (m – 1), tích bằng m2.

Kiến thức áp dụng:

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, có Δ = b2 – 4ac.

+ Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

+ Nếu Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.  

Bài 31 trang 54: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0

Có a = 1,5; b = -1,6; c = 0,1

⇒ a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = c/a = 1/15.


d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0

Có a = m – 1; b = - (2m + 3); c = m + 4

⇒ a + b + c = (m – 1) – (2m + 3) + m + 4 = m -1 – 2m – 3 + m + 4 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Kiến thức áp dụng:

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1; nghiệm còn lại x2 = c/a.

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1; nghiệm còn lại x2 = -c/a.

Bài 32 trang 54: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42, uv = 441

b) u + v = -42, uv = -400

c) u – v = 5, uv = 24

Hướng dẫn giải:

a) S = 42; P = 441 ⇒ S2 – 4P = 422 – 4.441 = 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 42x + 441 = 0

Có: Δ’ = (-21)2 – 441 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -b’/a = 21.

Vậy u = v = 21.

b) S = -42; P = -400 ⇒ S2 – 4P = (-42)2 – 4. (-400) = 3364 > 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 + 42x – 400 = 0

Có Δ’ = 212 – 1. (-400) = 841

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy u = 8; v = -50 hoặc u = -50; v = 8.

c) u – v = 5 ⇒ u + (-v) = 5

u. v = 24 ⇒ u. (-v) = -uv = -24.

Ta tìm u và –v. Từ đó, ta dễ dàng tính được u và v.

S= u + (-v) = 5; P = u. (-v) = -24 ⇒ S2 – 4P = 52 – 4. (-24) = 121 > 0

⇒ u và –v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 5x – 24 = 0

Có Δ = (-5)2 – 4.1. (-24) = 121

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

⇒ u = 8; -v = -3 hoặc u = -3; -v = 8

⇒ u = 8; v = 3 hoặc u = -3; v = -8.

Kiến thức áp dụng:

Nếu hai số có tổng bằng S, tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 – S. x + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là: S2 – 4P ≥ 0.

Bài 33 trang 54: Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)

Áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 2x2 - 5x + 3; b)3x2 + 8x + 2

Hướng dẫn giải:

* Chứng minh:

Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2

⇒ Theo định lý Vi-et:

Khi đó: a. (x – x1). (x – x2)

= a. (x2 – x1.x – x2.x + x1.x2)

= a. x2 – a. x. (x1 + x2) + a. x1.x2

=

= a. x2 + bx + c (đpcm).

* Áp dụng:

a) 2x2 – 5x + 3 = 0

Có a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Vậy:

b) 3x2 + 8x + 2 = 0

Có a = 3; b' = 4; c = 2

⇒ Δ’ = 42 – 2.3 = 10 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: