Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau - trang 113 Toán 9 Tập 1
Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 6 trang 113: Cho hình 79 trong đó AB, AC theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B, tại C của đường tròn (O). Hãy kể tên một vài đoạn thẳng bằng nhau, một vài góc bằng nhau trong hình.
Hướng dẫn giải:
+) Các đoạn thẳng bằng nhau là: AB = AC; OB = OC
+) Các góc bằng nhau là: ∠ (BAO) = ∠ (CAO); ∠ (BOA) = ∠ (COA)
∠ (ABO) = ∠ (ACO) = 90o
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 6 trang 114: Hãy nêu cách tìm tâm của một miếng gỗ hình tròn bằng “thước phân giác” (xem hình vẽ trong khung ở đầu bài 6).
Hướng dẫn giải:
- Đặt miếng gỗ hình tròn tiếp xúc với hai cạnh của thước.
- Kẻ theo “ tia phân giác “ của thước, ta vẽ được một đường kính của hình tròn
- Xoay miếng gỗ rồi làm tiếp tục như trên, ta được đường kính thứ hai.
- Giao điểm của hai đường kính chính là tâm đường tròn
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 6 trang 114: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC, AC, AB (h. 80). Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn tâm I.
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất tia phân giác, ta có:
AI là tia phân giác của góc BAC
⇒ IE = IF
Tương tự: CI là tia phân giác của góc ACB
⇒ IE = ID
Do đó: IE = IF = ID
Vậy 3 điểm D, E, F cùng nằm trên đường tròn tâm I
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 6 trang 115: Cho tam giác ABC, K là giao điểm các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ K đến các đường thẳng BC, AC, AB (h. 81). Chứng minh rằng ba điểm D, E, F năm trên cùng một đường tròn có tâm K.
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất tia phân giác, ta có:
AK là tia phân giác của góc BAC
⇒ KE = KF
Tương tự: CK là tia phân giác của góc ngoài của góc ACB
⇒ KE = KD
Do đó: KE = KF = KD
Vậy 3 điểm D, E, F cùng nằm trên đường tròn tâm K
Bài 26 (trang 115 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.
Hướng dẫn giải:a) Ta có: AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên Δ ABC cân tại A.
Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)
b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).
Xét Δ CBD có:
CI = IB
CO = OD (bán kính)
⇒ BD // HO (HO là đường trung bình của BCD) ⇒ BD // AO.
c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC:
AC2 = OA2 – OC2 = 42 – 22 = 12
=> AC = √ 12 = 2√ 3 (cm)
Do đó AB = BC = AC = 2√ 3 (cm).
Bài 27 (trang 115): Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Hướng dẫn giải:Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
DM = DB, EM = EC, AB = AC
Chu vi Δ ADE:
CΔ ADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)
Bài 28 (trang 116): Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?
Hướng dẫn giải:Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
Hay AO là tia phân giác của góc xAy.
Vậy tâm các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.
Bài 29 (trang 116): Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Hướng dẫn giải:Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy. . Do đó ta có cách dựng:
- Dựng tia phân giác At của góc xAy.
- Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax.
- Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.
Bài 30 (trang 116): Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a) ∠ COD = 90o
b) CD = AC + BD
c) Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Hướng dẫn giải:a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OC là tia phân giác của ∠ AOM
OD và tia phân giác của ∠ BOM
OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù ∠ AOM và ∠ BOM nên OC ⊥ OD.
=> ∠ COD = 90o (đpcm)
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CM = AC, DM = BC
Do đó: CD = CM + DM = AC + BD (đpcm)
c) Ta có: AC = CM, BD = DM nên AC. BD = CM. MD
Δ COD vuông tại O, ta có:
CM. MD = OM2 = R2 (R là bán kính đường tròn O).
Vậy AC. BD = R2 (không đổi).