Bài 6: Cung chứa góc - trang 84 Toán 9 Tập 2
Bài 6: Cung chứa góc
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 84: Cho đoạn thẳng CD
a) Vẽ ba điểm N1, N2, N3 sao cho ∠ (CN1 D) = ∠ (CN2 D) = ∠ (CN3 D) = 90o.
b) Chứng minh rằng các điểm N1, N2, N3 nằm trên đường tròn đường kính CD.
Hướng dẫn giải:
a) Hình vẽ:
b) Vì ∠ (CN1 D) = 90o nên ∠ (CN1 D) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CD hay N1 nằm trên đường tròn đường kính CD
Vậy N1,N2,N3 nằm trên đường tròn đường kính CD.
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 84: Vẽ một góc trên bìa cứng (chẳng hạn, góc 75o). Cắt ra, ta được một mẫu hình như phần gạch chéo ở hình 39. Đóng hai chiếc đinh A, B cách nhau 3cm trên một tấm gỗ phẳng.
Dịch chuyển tấm bìa trong khe hớ sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếc đinh A, B. Đánh dấu các vị trí M1, M2, M3, …, M10 của đỉnh góc (∠ (AM1 B) = ∠ (AM2 B) = … = ∠ (AM10 B) = 75o.
Qua thực hành, hãy dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M.
Hướng dẫn giải:
Qũy đạo chuyển động của điểm M là: hai cung tròn đối xứng nhau qua dây AB
Bài 44 (trang 86 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
* Dự đoán: Quỹ tích điểm I là cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC.
* Chứng minh:
Phần thuận: Chứng minh mọi điểm I thỏa mãn điều kiện trên đều thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC.
⇒ I thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn thẳng BC.
Phần đảo: Chứng minh mọi điểm I thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC, đều có tam giác ABC thỏa mãn điều kiện.
+ Lấy I trên cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC
+ Kẻ tia Bx sao cho BI là phân giác của
+ Kẻ tia Cy sao cho CI là phân giác của
+ Bx cắt Cy tại A.
Khi đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác ABC
Vậy ΔABC vuông tại A thỏa mãn đề bài.
Kết luận: Quỹ tích điểm I là toàn bộ cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC (khác B và C).
Kiến thức áp dụng
+ Thông thường, bài toán quỹ tích ta làm theo các bước:
1, Dự đoán quỹ tích
2, Chứng minh quỹ tích: gồm Phần thuận và Phần đảo
3, Kết luận.
+ Quỹ tích các điểm M thỏa mãn
Bài 45 (trang 86): Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. TÌm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.
Hướng dẫn giải:
Dự đoán: Quỹ tích cần tìm là nửa đường tròn đường kính AB.
Chứng minh phần thuận:
ABCD là hình thoi
⇒ AC ⊥ BD (hình thoi có 2 đường chéo vuông góc với nhau)
⇒
Vậy quỹ tích của O là nửa đường tròn đường kính AB.
Chứng minh phần đảo: Chứng minh với mọi điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB ta đều có hình thoi ABCD thỏa mãn đề bài.
+ Lấy điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB
+ Lấy C đối xứng với A qua O
+ Lấy D đối xứng với B qua O.
Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O là trung điểm mỗi đường
⇒ ABCD là hình bình hành.
Mà O thuộc nửa đường tròn đường kính AB
⇒
⇒ AC ⊥ DB
⇒ Hình bình hành ABCD là hình thoi.
Kết luận: Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB (khác A và B)
Kiến thức áp dụng:
+ Thông thường, bài toán quỹ tích ta làm theo các bước:
1, Dự đoán quỹ tích
2, Chứng minh quỹ tích: gồm Phần thuận và Phần đảo
3, Kết luận.
+ Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
Bài 46 (trang 86): Dựng một cung chứa góc 55o trên đoạn thẳng AB = 3cm.
Hướng dẫn giải:
Cách dựng:
+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm.
+ Dựng góc
+ Dựng tia Ay vuông góc với tia Ax.
+ Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
+ d cắt Ay tại O.
+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA.
Chứng minh:
+ O thuộc đường trung trực của AB
⇒ OA = OB
⇒ B thuộc đường tròn (O; OA).
Ax ⊥ AO ⇒ Ax là tiếp tuyến của (O; OA).
⇒
Lấy M ∈
⇒
Kết luận: Bài toán có một nghiệm hình.
Bài 47 (trang 86): Gọi cung chứa góc 55o ở bài tập 46 là cung AmB. Lấy điểm M1 nằm bên trong và điểm M2 nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho M1, M2 và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
Kiến thức áp dụng:
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
+ Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn