Ôn tập chương II - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Ôn tập chương II
Bài 1 (trang 77 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
c) Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng thuộc một mặt phẳng.
d) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
Bài giải:a) Mệnh đề Đúng
b) Mệnh đề Sai. Có thể a // b
c) Mệnh đề Đúng
d) Mệnh đề Sai. Có thể a cắt b
Bài 2 (trang 77 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
c) Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
d) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thi song song với nhau.
e) Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại.
f) Một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại.
g) Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
Bài giải:a) Mệnh đề Sai. Có thể a cắt b hoặc a chéo b
b) Mệnh đề Sai có thể (α) và (β) cắt nhau
c) Mệnh đề Đúng
d) Mệnh đề Đúng
e) Mệnh đề Sai. Vì: Có thể cắt đường thứ nhất nhưng chéo nhau với đường thứ hai
f) Mệnh đề Đúng
g) Mệnh đề Đúng
Bài 3 (trang 77 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các hình sau, hình nào là hình biễu diễn của một tứ diện?
Bài giải:
Các hình a, b, d, f, g, h biểu diễn của một tứ diện.
Bài 4 (trang 78 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đườngchéo AC, BF sao cho MC = 2AM; NF = 2BN. Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng mình rằng:
a) MN // DE
b) M1N1 // mp (DEF)
c) Mp (MNN1M1) // mp (DEF)
Bài giải:
Bài 5 (trang 78 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. ABC. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác BC và A’B’C’. Một mặt phẩng (α) cắt cạnh AA’, BB’, CC’, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 Và G1. Chứng minh rằng:
a) GG’ song song và bằng cạnh bên cuar hình lăng trụ;
b) G1 là trọng tâm của tam giác A1B1C1;
c) G1G' = 1/3 (A1A' + B1B' + C1C'); G = 1/3 (A1A + B1B'C1C)
Bài giải:
a) Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II’ song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’.
c) Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của đường thẳng AG và A’G’, L1 là giao điểm của LL’ và A1I1. Khi đó L1 là trung điểm của A1G1.
Theo định lí về đường trung bình của hình thang, ta có:
Bài 6 (trang 78 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua hai trung điểm M, N của các cạnh AB, AD và tâm O của mặt phẳng CDD’C’.
Bài giải:
Gọi I và J lần lượt là các giao điểm của đường thẳng MN với BC và CD. Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường thẳng JO với các cạnh DD’, CC’. Gọi R là giao của BB’ và đường thẳng IQ. Ta có:
(MNO) ∩ (ABCD) = MN
(MNO) ∩ (CDD’C’) = PQ
(MNO) ∩ (ADD’A’) = NP
(MNO) ∩ (BCC’B’) = RQ
(MNO) ∩ (ABB’A’) = MR
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR
Bài 7 (trang 78 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Trên ba cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho AM/AB = D'N/D'D = B'B/B'C
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (AB’D’) song song với nhau
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp (MNP)
Bài giải:
b) Từ M kẻ ME song song với AB’, từ P kẻ PF song song với B’D’. Từ N kẻ NK song song với AD’ cắt AD tại K. Thiết diện là lục giác MEPFNK có các cạnh đối song song.
Bài 8 (trang 78 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = k. BN (k > 0 cho trước)
a) Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định
b) Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = k. IN
Bài giải:
b) Thuận. Gọi O là một điểm thuộc đọa AB sao cho OA: OB = k, từ O ta vẽ hai tia Ox’ và Oy’ sao cho Ox’//Ax, Oy’//By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp (Ox’, Oy’). Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó giao điểmcủa MN và M’N’ chính là điểm I vì rõ ràng ta có:
I phải nằm trên tia phân giác Ot của góc x’Oy’.
Đảo. Giả sử I là một điểm bất kì thuộc tia phân giác Ot của góc x’Oy’. Gọi M’, N’ là những điểm lần lượt thuộc tia Ox’, tia Oy’ sao cho M’, I, N’ thẳng hàng và (IM^')/ (IN^')=k (có thể tìm M’, N’ bằng cách dùng phép vị tự tâm I tỉ số -k trên mp (Ox’y’)). Gọi M, N lần lượt là những điểm thuộc các tia Ax, By sao cho AM = OM’, BN = ON’. Dễ thấy I, M, N thẳng hàng và IM: IN = k
Kết luận: Tập hợp các điểm I thỏa mãn điều kiện bài toán là tia phân giác Ot của góc x’Oy’.