Bài tập ôn cuối năm - Giải BT Toán 11 nâng cao

a) MNPQ là hình bình hành nên I là trung điểm của MN và NQ.

Phép đối xứng tâm〖 Đ〗_1biến điểm M thành điểm P, biến đường thẳng MM’ thành đường thẳng đi qua P và song song với MM’, tức là vuông góc với DC. Vây đường thẳng MM’ được biến thành đường thẳng PO. Hoàn toàn tương tự: đường thẳng NN’ biến thành QO, đường thẳng PP’ biến thành MO, đường thẳng QQ’ biến thành NO

b) Vì bốn đường thẳng MO, NO, PO, QO đồng quy tại O nên bốn đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy tại O’ đối xứng với O qua điểm I.

Bài 3 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giác ABC và hai hình vuông ABMN và ACPQ như hình vẽ.

a) Xác định phép quay biếm tam giác ABQ thành tam giác ANC.

b) Chứng tỏ rằng hai đoạn thẳng BQ, CN bằng nhau và vuông góc với nhau.

c) Gọi O, O’ là tâm của các hình vuông, I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác OIO’ là tam giác vuông cân.

Bài giải:

a) Ta có AB = AN, AQ = AC và góc (AB, AN) = (AQ, AC) = -90˚.

Vậy phép quay tâm A, góc quay φ=-90˚ biến tam giác ABQ thành tam giác ANC

b) Vì đoạn thẳng BQ biến thành đoạn thẳng NC nên BQ = NC và BQ ⊥ NC

c) Theo kí hiệu hình bên thì

Vâỵ từ câu b) ta suy ra tam giác IOO’ vuông cân tại đỉnh I

Bài 4 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD; P là một điểm thay đổi trên đoạn thẳng AD.

a) Xác định giao điểm Q của mp (MNP) và cạnh AC. Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Tìm quỹ tích giao điểm I của QM và PN.

c) Tìm quỹ tích giao điểm J của QN và PM.

Bài giải:

a) Kẻ đường thẳng qua P song song với CD cắt AC tại Q thì Q là giao điểm của AC và mp (MNP). Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình thang (PQ // MN).

Chú ý: Nếu P ≡ A thì Q ≡ A; Nếu P ≡ D thì Q ≡ C.

b) Thuận: Giả sử I là giao điểm của QM và PN. Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (MNPQ) thì điểm I thuộc đường thẳng AB.

Vì P thay đổi trên đoạn thẳng AD nên dễ thấy I chỉ nằm trên phần của đường thẳng AB trừ đi các điểm trong đoạn thẳng AB.

Đảo: Lấy 1 điểm I bất kì thuộc đường thẳng AB nhưng không nằm giữa A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của IN với AD, của IM với AC. Khi đó rõ ràng mp (MNP) cắt AC tại Q và giao điểm của QM và PN là I.

Kết luận: Quỹ tích giao điểm I của QM và PN là đường thẳng AB trừ đi các điểm trong đoạn thẳng AB

c) Tương tự câu b), ta có quỹ tích giao điểm J của QN và QN và PM là đoạn thẳng AO (O là giao điểm của DM và CN).

Bài 5 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M nằm giữa A và D, điểm N nằm giữa C và C’ sao cho AM/MD = CN/NC'

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mp (ACB’)

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mp (ACB’).

Bài giải:

Theo định lí Ta-lét đảo thì MN song song mp (P), ở đó (P) // AC và DC’

Mặt khác DC’ // AB’. Vậy MN // (ACB’).

b) Kẻ MK // AC (K Є CD), kẻ NI // CB’ (I Є C’B’), kẻ IJ // A’C’ (J Є A’B’); kẻ JE // AB’ (E Є AA’). Thiết diện là lục giác MKNIJE.

Bài 6 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Chứng minh rằng các tia phân giác ngoài góc xOy, yOx, zOx đồng phẳng.

Bài giải:

Giả sử Δ₁, Δ₂, Δ₃ lần lượt là 3 đường phân giác ngoài của các góc xOy, yOx, zOx.

Nếu trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC thì dễ thấy Δ // AB, Δ₂ // BC, Δ₃ // CA

Vậy Δ₁, Δ₂, Δ₃ đồng phẳng.

Bài 7 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S. ABC. Gọi K và N lần lượt là trung điểm của SA VÀ BC; M là điểm nằm giữa S và C

a) Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua K, song song với AB và SC thì đi qua điểm N

b) Xác định thiết diện của hình chóp S. ABC khi cắt bởi mp (KMN). Chứng tỏ rằng KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài giải:

a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC thì dễ thấy các điểm K, I, N, J cùng thuộc mặt phẳng song song với AB và SC. Vậy câu a) được chứng minh.

b) Nếu M là trung điểm của SC thì thiết diện của hình chóp S. ABC khi cắt bởi mp (MKN) là hình bình hành, trong đó P là trùng điểm của AB. Khi đó KN chia hình bình hành MKPN thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Nếu M không là trung điểm của SC. Gọi Q là giao điểm của KM và AC, P là giao điểm của QN và AB. Khi đó thiết diện của hình chóp S. ABC cắt bởi mp (MKN) là tứ giác MKPN.

Ta có: SC // (α) và AB // (α) đồng thời K là trung điểm SA nên:

d (M, (α)) = d (P, (α)) ⇒ OP = OM (với O là giao điểm của PM và NK).

Do đó hai đường cao của hai tam giác MKN và PKN kẻ từ M và P bằng nhau, từ đó suy ra S_PKN = S_MKN.

Bài 8 (trang 126 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a√2

a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD)

b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp (SCD)

c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và SC

d) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.

e) Tính góc giữa đường thẳng AB và mp (P)

Bài giải:

Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S. ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).

a) Khoảng cách từ S đến mp (ABCD) là AH

c) Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp (SCD) nên d (AB; SC)=d (AB; (SCD))= (a√42)/7

d) Gọi C1 là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC₁ ⊥ SC. Mặt khác BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC₁ và song song với BD. Kí hiệu H₁ là giao điểm của AC₁ và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B₁D₁, trong đó B₁D₁ đi qua H₁ và song song với BD. Vậy thiết diện của S. ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB₁C₁D₁

e) Trong mp (SAC) kẻ HI song song với CC₁ cắt AC₁ taị I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P)

Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P),

Bài 9 (trang 126 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp (ABC) và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho BB’ = a, CC’ = m.

a) Với giá trị nào của m thì AB’C’ là tam giác vuông?

b) Khi tam giác AB’C’ vuông tại B’, kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh rằng B’C’H là tam giác vuông, tính góc giữa hai mp (ABC) và mp (AB’C’).

Bài giải:

Ta có AC²=3a²; AB'²=2a²; AC'²= 3a²+ m²; B'C'²= 4a²+ (m-a)²

a)- Tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi:

5a²+m²-2ma=2a²+3a²+m²

Vậy Δ AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi m = 0

- Tam giác AB’C’ vuông ở C’ khi và chỉ khi:

2a²= 3a²+m²+ 4a²+ (m-a)². Điều này không xảy ra.

- Tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi:

2a²+4a²+ (m-a)² = 3a²+m² ⇔ m=2a

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi m = 2a.

b) Giả sử tam giác AB’C’ vuông ở B’ tức là m = 2a.

+ Tính góc giữa mp (ABC) và mp (AB’C’) khi m=2a

Gọi I là giao điểm của B’C’ và BC. Do BB’ // CC’, BB’ = a, CC’ = 2a nên BC = BI, B’C’ = B’I.

Xét phép chiếu lên mp (ABC). Ta có tam giác AIC là hình chiếu của tam giác AIC’. Gọi φ là góc giữa mp (ABC) và mp (AB’C’) thì: