Bài 5: Đạo hàm cấp cao - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương 5: Đạo hàm

Bài 5: Đạo hàm cấp cao

Bài 42 (trang 218 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo?

a) f (x) = x⁴ - cos2x, f⁽⁴⁾(x)

b) f (x) = cos²x, f⁽⁵⁾x

c) f (x) = (x + 10)⁶, f⁽ⁿ⁾(x)

Bài giải:

a) f’ (x) = 4x³ + 2sin2x

f’’ (x) = 12² + 4cos2x

f⁽³⁾(x) = 24x – 8sin2x

f⁽⁴⁾(x) = 24 – 16cos2x

b) f’ (x) = 2cos (-sinx) = -sin2x

f’’ (x) = -2cos2x

f⁽³⁾(x) = 4sin2x;

f⁽⁴⁾ = 8cos2x

f⁽⁵⁾(x) = -16sin2x

c) f’ (x) = 6 (x + 10) ⁵

f’’ (x) = 30 (x + 10) ⁴

f⁽³⁾(x) = 120 (x + 10) ³

f⁽⁴⁾(x) = 360 (x + 10) ²

f⁽⁵⁾(x) = 720 (x + 10)

f⁽⁶⁾(x) = 720

f⁽ⁿ⁾(x) = 0 Ɐn ≥ 7

Bài 43 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:

Bài giải:

b) Cho f (x) = cosx. Ta hãy chứng minh công thức:

f⁽⁴ⁿ⁾(x) = cosx (Ɐn ≥ 1)

(2) bằng phương pháp quy nạp

Ta có: f (x) = -sinx; f’’ (x) = -cosx; f’’’ (x) = sinx; f⁽⁴⁾ (x) = cosx

+ Với n = 1 thì f⁽⁴ⁿ⁾(x) = f⁽⁴⁾(x) = cosx

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1),

tức là: f^(4k)(x) = cosx,

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n=k+1,

tức là phải chứng minh: f^{(4k + 1)}(x) = cosx (hay f^{(4k + 4)}(x) = cosx)

Thật vậy, vì: f^(4k)(x) = cosx nên f^{(4k + 1)}(x) = -sinx

f^{(4k + 2)}(x) = -cosx; f^{(4k + 3)}(x) = sinx;

f^{(4k + 4)}(x) = cosx

c) Ta có: f’ (x) = acosax; f’’ (x) = -a²(x) sinax

f⁽³⁾(x) = -a³cosax; f⁽⁴⁾(x) = a⁴sinax

Với n = 1 ta có f⁽⁴⁾(x) = a⁴sinax

đẳng thức đúng với n=1

Giả sử đẳng thức với n=k tức là f⁽⁴⁾(x) = a^4ksinax

Với n=k+1 ta có f^{(4k + 4)}(x) = (f^(4k))⁽⁴⁾(x) = (a^(4k)sinax) ^(4k) do f^(4k) = a^(4k)sinax

f^{(4k + 1)}(x) = a^(4k+1)cosax;

f^{(4k + 2)}(x) = -a^(4k+2)sinax;

f^{(4k + 3)}(x) = -a^(4k+3)cosax;

f^{(4k + 4)} (x) = a^(4k+4)sinax;

Vậy đẳng thức đúng với n=k+1, do đó đẳng thức đũng với mọi n.

Bài 44 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Vận tốc của một chất chuyển động được biểu thị bởi công thức v (t) = 8t + 3², trong đó t tính bằng giây (s), t > 0 và v (t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm.

a) Tại thời điểm t = 4s

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11m/s

Bài giải:

Ta có a (t)=v’t=8+6t

a) Khi t=4s thì a (4) = 32m/s²

b) Khi v (t)=11m/s thì ta được:

Với t=1s thì a (1) = 14m/²

Bài trước: Bài 4: Vi phân - Giải BT Toán 11 nâng cao Bài tiếp: Luyện tập (trang 219) - Giải BT Toán 11 nâng cao