Bài 6: Phép vị tự - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Bài 6: Phép vị tự
Bài 25 (trang 29 sgk Hình học 11 nâng cao): Các phép sau đây có phải là phép vị tự không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo 
Bài giải:
Phép đối xứng qua tâm O là phép vị tự tâm O tỉ số -1
Phép đối xứng trục không phải là phép vị tự vi các đường thẳng nối cập điển tương ứng không đồng quy.
Phép đồng nhất là phép vị tự với tâm là điểm bất kì và tỉ số k = 1.
Phép tịnh tiến theo 
Bài 26 (trang 29 sgk Hình học 11 nâng cao): Các khẳng định sau đây có đúng không?
a) Phép vị tự luôn có điểm bất động (tức là điểm biến thành chính nó)
b) Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động
c) Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt khi mọi điểm đều bất động
Bài giải:a) Đúng. Tâm vị tự là điểm bất động
b) Sai. Phép vị tự số k=1 có mọi điểm đều là điểm bất động
c) Đúng. Phép vị tự tâmO luôn có điểm bất động, nếu nó còn điểm bất động nữa là M (tức là ảnh M’ của M trùng với M) thì vì:
Vậy phép vị tự đó là phép đồng nhất nên mọi điểm đều bất động
Bài 27 (trang 29 sgk Hình học 11 nâng cao): Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
b) Hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
c) Hai đường tròn chứa đường tròn kia
Bài giải:Gọi I là tâm vị tự ngoài I’ là tâm vị tự trong của hai đường tròn (O) và (O’)
a) Nếu (O) và (O’) tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm I’ là tâm vị tự trong, giao điểm của OO’ với tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) (nếu có) là tâm vị tự ngoài (h. a)
b) Nếu (O) và (O’) tiếp xúc trong thì tiếp điểm I’ là tâm vị tự ngoài, tâm vị tự trong I’ xác đinh như hình vẽ b.
c) Nếu (O) chưá (O’) thì xạc định I và I’ như hình c) (đặc biệt, khi O trùng O’ thì I và I’ trùng O).
Bài 28 (trang 29 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O’) ở N sao cho M là trung điểm của AN.
Bài giải:
Giả sử đã dựng được đường thẳng d theo yêu cầu của bài toán. Vì M là trung điểm AN nên AN→ = 2AM→. Như vậy, gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số 2 thì V biến M thành N. Nếu V biến (O) thành (O’’) thì (O’’) phải đi qua N. Vậy N là giao điểm của hai đường tròn (O’) và (O’’). Từ đó suy ra cách dựng.
- Dựng O’’ = V ((O)).
- Gọi N = (O’) ∪ (O’’), M = AN ∪ (O).
Bài 29 (trang 29 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.
Bài giải:
Đặt IO = d (d ≠ 0). Theo tính chất đường phân giác của tam giác MOI, ta có:
IN/NM = IO/OM = d/R.
Suy ra: IN/ (IN + NM) = d/ (d + R) ⇒ IN/IM = d/ (d + R)
Nếu gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số k = d/ (d + R) thì V biến điểm M thành điểm N. Khi M ở vị trí Mo trên đường tròn (O; R) sao cho IÔMo = 0o thì tia phân giác của góc IÔMo không cắt IM. Điểm N không tồn tại. Vậy khi M chạy trên (O; R) (M khác Mo) thì quỹ tích điểm N là ảnh của (O; R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm Mo.
Bài 30 (trang 29 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O’’) thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O’) lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài giải: