Bài 2: Hai đường thẳng song song - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Bài 2: Hai đường thẳng song song
Bài 17 (trang 55 sgk Hình học 11 nâng cao): Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
a) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
c) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
d) Hai đường thẳngphân biệt không cắt nhau và song song thì chéo nhau.
Bài giải:a) Mệnh đề đúng
b) Mệnh đề sai (xét trường hợp hai đường thẳng song song)
c) Mệnh đề sai (xét hai đường thẳng cắt nhau)
d) Mệnh đề đúng
Bài 18 (trang 55 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của hai đường thẳng MN, NQ
Bài giải:
Hai đường thẳng MQ và NP chéo nhau. Thật vậy giả sử chúng không chéo nhau, tức chúng cùng thuộc một mp (α) nào đó. Vậy M, N, P, Q cùng thuộc mp (α) và do đó A, B, C, D cùng thuộc mp (α). Điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là một tứ diện.
Chứng minh tương tự, hai đường thẳng MP và NQ cũng chéo nhau
Bài 19 (trang 55 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện, chứng minh rằng:
a) Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
b) Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Bài giải:
a) Nếu P, Q, R, S, đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mp (PQRS)
Ta có: (PQRS) ∩ (ABC) = PQ
(PQRS) ∩ (ACD) = RS
(ABC) ∩ (ACD) = AC
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ngược lại, nếu ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS hoặc song song hoặc cắt nhau. Vậy hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ 4 điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
b) Chứng minh tương tự câu a)
Bài 20 (trang 55 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm của S của mp (PQR) với cạnh AD nếu:
a) PR // AC
b) PR cắt AC
Bài giải:a) Trường hợp PR// AC
Hai mặt phẳng (PQR) và (ACD) có điểm chung Q và lần lượt chứa hai đường thẳng song song PR và AC nên:
(PQR) ∩ (ACD) = Qt // AC
Gọi {S} = Qt // AC thì
{S} = AD ∩ (PQR)
b) Trường hợp PR cắt AC
Giải sử {I} = PR ∩ AC
⇔ (PQR) ∩ (ACD) = QI
Trong mặt phẳng (ACD) ta có:
{S} = QI ∩ AD thì
{S} = AD ∩ (PQR)
Bài 21 (trang 55 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; Điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD, chứng minh rằng AS = 2SD
Bài giải:
Định lí Menelaus
Giải sử đường thằng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì:
Áp dụng định lí để giải bài toán
Gọi {I}= PR ∩ AC
Trong mp (ACD) gọi {S} = QI ∩ AD thì
{S} = AD ∩ (PQR)
Áp dụng định lí Menelaus trong Δ ABC với cắt tiếp tuyến PRI ta có:
⇒ C là trung điểm của AI
Áp dụng định lí Menelaus trong Δ ACD với cát tuyến IQS ta có:
Bài 22 (trang 55 sgk Hình học 11 nâng cao): Gọi C là trọng tâm của tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy.
b) Gọi A’ là trọng tâm của một BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’
Bài giải:
a) Trong mp (ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của Δ BCD. Ta chứng minh:
A’B = 2A’N
Áp dụng định lí Menelaus trong Δ BMN với cát tuyến AGA’ Ta có:
Vậy A’ là trọng tâm của Δ BCD
Tương tự BG, CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC
b) Chứng minh GA = 3GA’
Áp dụng định lí Menelaus trong Δ ABA’ với cát tuyến MGN Ta có:
