Bài 7: Phép đồng dạng - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài 31 (trang 31 sgk Hình học 11 nâng cao): Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C.

Bài giải:

Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành trung điểm D’ của đoạn thẳng B’C’ và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’. Đối với hai trung tuyến còn lại cũng vậy. Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên trọng tâm tâm giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H Є BC). Khi đó phép đồng dạng F biến đường thẳng AH thành đường A’H. Vì AH ⊥ BC nên A’H’ ⊥ B’C’, nói cách khác A’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’. Đối với các đường cao khác cũng thế. Vì trực tâm tam giác là giao điểm của các đường ca nên trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C’.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC thì OA = OB = OC nên nếu điểm O biến thành điểm O’ thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC, do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’

Bài 32 (trang 31 sgk Hình học 11 nâng cao): Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau

Bài giải:

Giả sử cho hai n-giác đều A₁A₂... A_n và B₁B₂…B_n có tâm lần lượt là O và O'. Đặt:

Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và C₁C₂…C_n là ảnh của đa giác A₁A₂…A_n qua phép vị tự V. Hiển nhiên C₁C₂…C_n cũng là đa giác đều vì:

Nên C₁C₂ = B₁B₂. Vậy hai n-giác đều C₁C₂…. C_n và B₁B₁…B_n có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C₁C₂…C_n thành B₁B₂…B_n (xem BT22, chương I, SGK). Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng đạng biến A₁A₂…A_n thành B₁B₂…B_n.Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau

Bài 33 (trang 32 sgk Hình học 11 nâng cao): Dựng tam giác ABC nếu biết hai góc

và một trong các yếu tố sau:

a) Đường cao AH = h;

b) Đường trung tuyến AM = m;

c) Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp

Bài giải:

Ta chú ý rằng có thể dựng rất nhiều tam giác ABC với hai góc

bằng hai góc β và γ đã cho, nhưng các tam giác đó đều đồng dạng với nhau. Vậy ta chỉ cần chọn trong các tam giác đó một tam giác thỏa mãn điều kiện về yếu tố thứ ba đã cho. Ta suy ra cách dựng:

Dựng tam giác A’B’C’ có hai góc B’ và C’ lần lượt bằng β và γ. Cụ thể như sau: Dựng đoạn thẳng B’C’ tùy ý. Trên một nửa mặt phẳng có bờ B’C’ dựng tia B’x và

Hai tia đó cắt nhau tại A và có tam giác A’B’C’

Dựng đường cao AH’ của tam giác AB’C’. Nếu AH’= h thì AB’C’ là tam giác cần dựng

b) Tương tự như câu a

c) Dựng tam giác A’B’C’ như câu a) rồi dựng tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Trên tai AO’ lấy điểm O sao cho AO = R rồi dựng đường tròn (O) đi qua A (tức là có bán kính bằng R). Hai tai AB’ và AC’ lần lượt cắt (O) tại các điểm B và C (khác A). ABC là tam cần dựng.

Bài trước: Bài 6: Phép vị tự - Giải BT Toán 11 nâng cao Bài tiếp: Ôn tập chương I - Giải BT Toán 11 nâng cao