Bài 3: Cấp số cộng - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Bài 3: Cấp số cộng
Bài 19 (trang 114 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:
a) Dãy số (un) với un = 19n - 5
b) Dãy số (un) với un = an + b, trong đó a và b là các
Bài giải:a) Ta có: un + 1 - un = 19 (n + 1) – 5 – (19n – 5) = 19 với mọi n ≥ 1
Do đó (un) là một cấp số cộng với công sai d = 19
b) Ta có: un + 1 - un = a (n – 1) + b – (an + b) = a với mọi n ≥ 1
Do đó (un) là một cấp số cộng với công sai d = a.
Bài 20 (trang 114 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2, …, An, …sao cho mỗi số nguyên dương n, OAn = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n=1,2, …Kí hiệu là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn -1, nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số (un)là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
Bài giải:
Bài 21 (trang 114 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “X” vào phần kết luận mà em cho là đúng:
a) Mỗi cấp số với công sai d > 0 là một dãy số.
□ Tăng
□ Giảm
□ Không tăng cũng không giảm
b) Mỗi cấp số cộng với công sai d < 0 là một dãy số
□ Tăng
□ Giảm
□ Không tăng cũng không giảm
Bài giải:a) Tăng
b) Giảm
Bài 22 (trang 115 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Mỗi cấp số cộng có 5 số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.
Bài giải:Với mỗi n ∈ [1,2,3,4,5] kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số hạng đã cho
Ta có: 28 = u1 + u3 = 2u2 ⇒ u2 = 14
40 = u3 + u5 = 2u4 ⇒ u4 = 20
2u3 = u2 + u4 = 34 ⇒ u3 = 17
Ta có: u1 + u3 = 28 ⇒ u1 = 28 – u3 = 11
u3 + u5 = 40 ⇒ u5 = 40 – u3 = 23
Vậy cấp số cộng cần tìm là: 11,14,17,20,23
Bài 23 (trang 115 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho cấp số cộng (un) có u20 = -52 và u51 = -145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó
Bài giải:
Bài 24 (trang 115 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho cấp số cộng (un) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng um = uk + (m – k)d
Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (un) mà u18 - u3 = 75
Bài giải:Ta có: um = u1 + (m – 1)d (1)
uk = u1 + (k – 1)d (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
um - uk = (m – k)d ⇒ um = uk + (m – k)d
Áp dụng:
Ta có: u18 - u3 = (18 – 3)d = 15d = 75
⇒ d = 5Bài 25 (trang 115 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho cấp số cộng (un) có u1 - u3 = 6 và u5 = -10. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó?
Bài giải:
Bài 26 (trang 115 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
Bài 27 (trang 115 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho cấp số cộng (un) cos2 + u22 = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Bài giải:Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có:
u1 = u2 - d và u23 = u22 + d
Do đó, áp dụng định lí 3 cho n=23, ta được:
Bài 28 (trang 115 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.
Bài giải:Kí hiệu A, B, C là số đo ba góc (tính theo đơn vị đo) của tam giavs vuông đã cho. Không mất tổng quát, có thể giả sử A ≤ B ≤ C. Khi đó, từ giả thiết dễ dàng suy ra C = 90 (độ) và A, B, C theo thứ từ đó là một cáp số cộng.
