Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm
Bài 12 (trang 18 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho phép quay Q tâm O với góc quay φ và cho đường thẳng d. Hãy nêu các dựng ảnh d’ của d qua phép quay Q
Bài giải:
Ảnh d’ của đường thẳng d qua phép quay Q (O, φ) có thể dựng như sau:
Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d rồi dựng ảnh A’B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’ và B’.
Bài 13 (trang 18 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai tam giác vuông cân OAB và O’A’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh GOG’ là tam giác vuông cân.
Bài giải:
Gọi Q là phép quay tâm O, góc quay π /2 (bằng góc lượng giác (OA, OB))
Khi đó Q biến A thành B và biến A’ thành B’, tức là biến tam giác OAA’ thành tam giác OBB’
Bởi vậy Q biến G (trọng tâm tam giác OAA’) thành G’ (trọng tâm tam giác OBB’). Suy ra OG = OG’ và GÔG' = π /2
Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O.
Chú ý: Phép quay Q biến trọng tâm tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ ảnh của Δ ABC qua Q được suy từ phép quay Q biến trung điểm I của đoạn thẳng AB thành trung điểm I’ của đoạn thẳng A’B’ ảnh của AB qua Q.
Bài 14 (trang 18 sgk Hình học 11 nâng cao): Giả sử phép đối xứng tâm Đ_o biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
Chứng minh:
a) Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d’ song song với d, O cách đều d với d’
b) Hai đường d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O
Bài giải:a)
Kẻ OH vuông góc d (h Є d) thì vì d không đi qua O nên H không trùng với O.
Phép đối xứng tâm Đ_o biến H thành H^' thì O là trung điểm của HH’ và biến đường thẳng d’ vuông góc với OH’ tại H’.
Suy ra d và d’ //, cách đều điểm O
b) Nếu d không đi qua điểm O thì theo câu a), d’//d nên d’ không trùng với d.
Nếu d đi qua O thì mọi điểm M Є d.
Vậy d’ trùng với d
Bài 15 (trang 18 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho phép đối xứng tâm Đo và đường thẳng d không đi qua O. Hãy nêu cách dựng ảnh d’ của đường thẳng d qua Đo. Tính cách dựng d’ mà chỉ sử dụng compa phẳng một lần nữa và thước thẳng ba lần .
Bài giải:
Cách dựng ảnh d’ của d như sau: Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d rồi dựng ảnh A’B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’B’. Ta có thể dựng cụ thể như sau:
Dựng đường tròn (O; R) sao cho nó cắt d tại hai điểm phân biệt A, B. Dựng các đường thẳng AO và BO, chúng cắt đường tròn đó lần lượt tại A’, B’ dựng đường thẳng d’ đi qua A’và B’. Phép dựng trên đây sử dụng compa một lần nữa và thước thẳng ba lần .
Bài 16 (trang 19 sgk Hình học 11 nâng cao): Chỉ ra các tâm đối xứng của các hình sau đây:
a) Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau;
b) Hình gồm hài đường thẳng song song;
c) Hình gồm hài đường tròn bằng nhau;
d) Đường elip;
e) Đường hypebol;
Bài giải:a) Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng.
b) Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng.
c) Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn.
d) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của elip.
e) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của hypepol.
Bài 17 (trang 19 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định
Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng HM
Bài giải:
Ta vẽ đường kính AM của đường tròn.
Khi đó BH // MC (vì cùng vuông góc với AB) hay BHCM là hình bình hành, nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cố định và cũng là trung điểm của BC thì I cố định và cũng là trung điểm của MH. Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H
Khi A chạy trên đường tròn (O; R) thì M chạy trên đường tròn (O; R). Do đó, H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng tâm vơi tâm I.
Bài 18 (trang 19 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho đường tròn (O; R) đường thẳng Δ và điểm I. Tìm điểm A trên (O; R) và điểm B trên Δ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB
Bài giải:
Giả sử ta đã có điểm A trên đường tròn (O; R) và điểm B trên Δ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Phép đối xứng tâm Đ_1 biến điểm B thành điểm A nên biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ ’ đi qua A. Mặt khác A lại nằm trên (O; R) nên A phải là giao điểm của Δ ’ và (O; R)
Suy ra cách dựng:
Dựng đường thẳng Δ ’ là ảnh của Δ qua phép đối xứng tâm Đ_ (1. )lấy A là giao điểm (nếu có) của Δ ’ và (O; R), còn B Là giao điểm của đường thẳng AI và đường thẳng Δ
Số nghiệm hình là số giao điểm của Δ ’ và (O; R)
Bài 19 (trang 19 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 và điểm I (x0; y0) phép đối xứng tâm Đ1 biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ ’. Viết phương trình của Δ ’
Bài giải: