Luyện tập (trang 63-64) - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương 2: Tổ hợp và xác suất A. Tổ hợp Luyện tập (trang 63-64)

Bài 9 (trang 63 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời?

Bài giải:

Bài thi có 4¹⁰ = 1048576 phương án trả lời.

Bài 10 (trang 63 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?

Bài giải:

Một số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5 có dạng:

+) a có 9 cách chọn,

+) g có 2 cách chọn

+) b, c, d, e mỗi số có 10 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân có 9.10⁴.2 = 180000 số.

Bài 11 (trang 63 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G trong đó số viết trên một cạnh cho biết số con đường nối 2 tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G?

Bài giải:

Có 4 phương án đi qua các tỉnh A đến G là:

a) A → B → D → E → G

b) A → B → D → F → G

c) A → C → D → E → G

d) A → C → D → F → G

Theo quy tắc nhân ta có:

Phương án a) có 2.3.2.5 = 60 cách đi

Phương án b) có 2.3.2.2 = 24 cách đi

Phương án c) có 3.4.2.5 = 120 cách đi

Phương án d) có 3.4.2.2 = 48 cách đi

Vậy theo quy tắc cộng có 60 + 24 + 120 + 48 = 252 cách đi từ A đến G.

Bài 12 (trang 63 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Xét sơ đồ mạng điện ở hình dưới có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở. Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc để mạng điện thông mạch từ P đến Q (tức là có dòng điện từ P đến Q)?

Bài giải:

Mỗi cách đóng-mở 6 công tắc của mạng điện được gọi là một trạng thái của mạng điện. Theo quy tắc nhân, mạng điện có 2⁶ = 64 trạng thái. Trước hết ta tìm xem có bao nhiêu trạng thái không đóng mạch (không có dòng điện đi qua). Mạch gồm 2 nhánh A → B và C → D. Trạng thái không thong mạch xảy ra khi và chỉ khi cả hai nhánh A → B và C → D đều không thông mạch. Dễ thấy nhánh A → B có 8 trạng thái trong đó có duy nhất 1 trạng thái thông mạch còn 7 trạng thái còn lại đều không thong mạch. Tương tự ở nhánh C → D có 7 trạng thái không thong mạch. Theo quy tắc nhân ta có 7.7 = 49 trạng thái mà cả A → B và C → D đều không thong mạch. Vậy mạng điện có 64 - 49 = 15 trạng thái thong mạch từ P đến Q.

Bài 13 (trang 63 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có 2 người nào có điểm bằng nhau.

a) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?

Bài giải:

a) Số cách chọn ra 4 người điểm cao nhất trong 15 người tham dự là số tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy có C⁴₁₅ = 1365 kết quả.

b) Số cách chọn ra 3 giải nhất, nhì, ba là số chỉnh hợp chập 3 của 15 phần tử. vậy có A³₁₅ = 2730 kết quả.

Bài 14 (trang 63 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, nhì, ba, tư. Hỏi:

a) Có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng giải nhất?

c) Có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong 4 giải?

Bài giải:

a) Có A⁴₁₀₀ = 94109400 kết quả có thể.

b) Nếu giải nhất đã xác định thì 3 giải nhì, ba, tư rơi vào 99 người còn lại. Vậy có A³₉₉ = 941094 kết quả có thể.

c) Người giữ vé số 47 có 4 khả năng trúng 1 trong 4 giải. Sau khi xác định giải của người này thì 3 giải còn lại rơi vào 99 người không giữ vé số 47. Vậy theo quy tắc nhân có 4. A³₉₉ = 3764376 kết quả có thể.

Bài 15 (trang 64 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài giải:

Số cách chọn 5 em trong 10 em là C⁵₁₀.

Số cách chọn 5 em toàn nam là C⁵₈.

Do đó số cách chọn có ít nhất 1 nữ là C⁵₁₀ - C⁵₈ = 196.

Bài 16 (trang 64 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một nhóm học sinh có 7 nam và 3 nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn yêu cầu có không quá 1 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài giải:

Số cách chọn 5 em toàn nam là C⁵₇. Số cách chọn 4 nam và 1 nữ là.

Vậy đáp số bài toán là C⁵₇ + C⁴₇.C¹₃ = 126.

Bài trước: Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Giải BT Toán 11 nâng cao Bài tiếp: Bài 3: Nhị thức Niu-tơn - Giải BT Toán 11 nâng cao