Câu hỏi và bài tập chương 2 - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương 2: Tổ hợp và xác suất
B. Xác suất
Câu hỏi và bài tập chương 2
Bài 55 (trang 93 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
Bài giải:Gọi số đó là: 
• Vì số đó là chẵn nên có 4 cách chọn c
• Có 7 cách chọn b, có 6 cách chọn c
Theo quy tác nhân có 4.7.6 = 168 số
Bài 56 (trang 93 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Bài giải: Gọi số đó là: 
• Vì số đó là chẵn nên có 2 cách chọn c
• Có 4 cách chọn b, 3 cách chọn a
Theo quy tắc nhân có 2.3.4 = 24 số
Bài 57 (trang 93 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Xét sơ đồ mạng điện có 9 công tắc, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng – mở.
a) Hỏi mạng điện có thể có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên.
b) Hỏi mạng điện có thể có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên để thông mạch từ A đến B (tức là có dòng điện đi từ A đến B)??
Bài giải:a) Mỗi công tắc k, 1 ≤ k ≤ 9 có hai trạng thái đóng-mở. Do đó có tất cả 29 = 512 cách đóng-mở công tắc trong mạng điện.
b) Mạch điện được thong từ A đến B khi và chỉ khi có 4 công tắc 1,2,3,4 không cùng mở, 2 công tắc 5 và 6 không cùng mở, 3 công tắc 7,8,9 không cùng mở.
Với 4 công tắc 1,2,3,4 có 24 cách đóng-mở khác nhau. Do đó có 15 cách để thông mạch qua 4 công tắc này (loại bỏ 1 trường hợp cả 4 công tức cùng mở).
Tương tự để thông mạch qua các công tắc 5 và 6 có 22 - 1 cách, để thông mạch qua các công tắc 7,8,9 có 23 - 1
Theo quy tắc nhân ta có: 15.3.7 = 315 cách thông mạch từ A đến B.
Bài 58 (trang 93 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho.
Bài giải:Ta đã biết cứ 4 điểm không đồng phẳng xác định 1 tứ diện nhận 4 điểm đó làm đỉnh. Theo giả thiết 9 điểm đã cho không có 4 điểm nào đồng phẳng nên số các tứ diện chính là số tổ hợp chập 4 của 9. Vậy có C49 = 126 tứ diện.
Bài 59 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một câu lạc bộ có 25 thành viên.
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào ủy ban thường trực?
b) Có bao nhiêu cách chọn chủ tịch, phó chủ tịch và thủ quỹ?
Bài giải:a) Từ 25 người chọn 4 người bất kì vào ủy ban thường vụ có C425 = 12650 cách.
b) Giả sử 3 người A, B, C được chọn vào các chức vụ đó. Trong 3 người này ai cũng có thể giữ 1 trong 3 chức vụ chủ tịch, phó chủ tịch và thủ quỹ. Do đó có 3! Cách phân công chức vụ. Vì vậy có 3! C325 = 13800 cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 60 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm hệ số của x8y9 trong khai triển (3x + 2y)17
Bài giải:
Bài 61 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tính xác suất để số đó:
a) Chia hết cho 3
b) Chia hết cho 5
Bài giải:Không gian mẫu Ω = {0,1,2, .... , 998,999}
a) Gọi A là biến cố “số chọn ra chia hết cho 3”. Khi đó:
ΩA = {3k|k ∈ N} ⊂ Ω ⇔ ΩA = {3k|k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 333} ⇒ |ΩA| = 334
Vậy xác xuất của biến cố A là P (A)= 334/1000 = 0,334
b) Gọi B là biến cố “số chọn ra chia hết cho 5”
ΩB = {5k|k ∈ N} ⊂ Ω ⇔ ΩB = {5k|k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 199} ⇒ |ΩA| = 200
Vậy xác suất của biến cố B là P (B)= 200/1000 = 0,2
Bài 62 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân chọn ra có quân 2 rô, quân 3 pích, quân 6 cơ, quân 10 nhép và quân K cơ.
Bài giải:Không gian mẫu là Ω gồm tất cả các tập hợp 5 quân bài trong 52 quân bài. Do đó Ω = C552.
Có đúng 1 cách để chọn đúng quân 2 rô, 1 cách chọn quân 3 pích, 1 cách chọn quân 6 cơ, 1 cách chọn quân 10 nhép và 1 cách chọn quân K cơ. Vậy có đúng 1 cách để chọn 5 quân bài trên
Suy ra xác suất cần tìm là P = 1/ (C552)
Bài 63 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân. Tính xác suất để trong 5 quân bài đó có ít nhất một quân át (tính chính xác đến hàng phần nghìn)
Bài giải:Ta có |Ω | = C552
Gọi B là biến cố “5 quân bài chọn ra không có quân át nào”. Rõ rang B là biến cố đối của biến cố A “5 quân bài chọn ra có ít nhất 1 con át”
Do đó P (A)= 1 - P (B)
Ta sẽ tính P (B). Số cách chọn ra 5 quân bài không có quân át nào chính là số cách chọn 5 quân bài trong 48 quân bài sau khi đã loại bỏ quân át hay bằng
Vậy P (B)= (C548)/ (C552)
Suy ra P (A)=1- (C548)/ (C552) = 0,341
Bài 64 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Có 2 hòm, mỗi hòm chứa 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm 1 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 2 thẻ không nhỏ hơn 3.
Bài giải:Không gian mẫu Ω = {(i; j)|i; j ∈ {1,2,3,4,5}}
Dễ thấy |Ω | = 25
Gọi A là biến cố “tổng 2 số ghi trên 2 thẻ không nhỏ hơn 3” thì biến cố B “tổng 2 số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 3” là biến cố đối của biến cố A.
Ta có ΩB = {(1,1)} hay |ΩB| = 1
Suy ra P (A) = 1 - P (B) = 1 - 1/25 = 0,96
Bài 65 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Có 3 hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm 1 thẻ. Tính xác suất để:
a) Tổng các số ghi trên 3 thẻ không nhỏ hơn 4
b) Tổng các số ghi trên 3 thẻ bằng 6
Bài giải:Không gian mẫu Ω = {(i; j; k)|i, j, k ∈ {1,2,3,4,5}}
|Ω | = 53 = 125
a) Gọi A là biến cố “tổng các số ghi trên 3 thẻ không nhỏ hơn 4”
B là biến cố “tổng các số ghi trên 3 thẻ nhỏ hơn 4”
Ta thấy B = A-
Ta có ΩB = {(1,1,1)} ⇒ |ΩB| = 1
Vậy P (A)=1-P (B)=1- 1/125 = 0,992
b) Gọi C là biến cố “tổng các số ghi trên 3 thẻ bằng 6”
Khi đó:
ΩC = {(1,1,4); (1,4,1); (4,1,1); (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,2,1); (3,1,2)}
⇒ |ΩC| = 10
Vậy P (C)= 10/125 = 0,08
Bài 66 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố như sau:
Tính xác suất để:
a) Trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi
b) Trên trang sách có ít nhất 2 lỗi
Bài giải:
Bài 67 (trang 94 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Có 2 túi: túi thứ nhất đựng 3 tấm thẻ đánh số 1,2,3; túi thứ 2 đựng 4 tấm thẻ đánh số 4,5,6,8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi 1 tấm thẻ rồi cộng 2 số ghi trên 2 thẻ với nhau. Gọi X là số thu được:
a) Lập bảng phân bố xác suất của X
b) Tính E (X)
Bài giải:Ta có X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị thuộc tập {5,6,7,8,9,10,11}.
Số phần tử của không gian mẫu là |Ω | = 12
- Tổng 2 số ghi trên 2 thẻ bằng 5 có 1 cặp (1,4)
⇒ P (X = 5) = 1/12
- Tổng 2 số ghi trên 2 thẻ bằng 6 có 2 cặp (1,5); (2,4)
⇒ P (X = 6) = 1/6
- Tổng 2 số ghi trên 2 thẻ bằng 7 có 3 cặp là (1,6); (2,5); (3,4)
⇒ P (X = 7) = 1/4
- Tổng 2 số ghi trên 2 thẻ bằng 8 có 2 cặp là (2,6); (3,5)
⇒ P (X = 8) = 1/6
- Tổng 2 số ghi trên 2 thẻ bằng 9 có 2 cặp là (1,8); (3,6)
⇒ P (X = 9) = 1/6
- Tổng 2 số ghi trên 2 thẻ bằng 10 có 1 cặp là (2,8)
⇒ P (X = 10) = 1/12
- Tổng 2 số ghi trên 2 thẻ bằng 11 có 1 cặp là (3,8)
⇒ P (X = 11) = 1/12
Ta có bảng phân bố xác suất của X:
Áp dụng công thức tính kì vọng ta có:
E (X) = 5/12 + 1 + 7/4 + 8/6 + 9/6 + 10/12 + 11/12 = 7,75
Bài 68 (trang 95 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một nhóm có 7 người trong đó có 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số nữ trong 3 người được chọn
a) Lập bảng phân bố xác suất của X
b) Tính E (X), V (X) chính xác đến hàng phần trăm
Bài giải:a) X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị trong tập {0,1,2,3}
Ta có |Ω | = C37 = 35 phần tử.
• Trong 3 người được chọn không có nữ (X=0) có C34 = 4 cách
⇒ P (X = 0) = 4/35
• Trong 3 người được chọn có 1 nữ (X=1) có C13C24 = 18 cách
⇒ P (X = 1) = 18/35
• Trong 3 người được chọn có 2 nữ (X=2) có C23C14 = 12 cách
⇒ P (X = 2) = 12/35
• Trong 3 người được chọn có 3 nữ (X=3) có 1 cách
⇒ P (X = 3) = 1/35
Ta có bảng phân bố xác suất của X như sau:
b) Áp dụng công thức tính kì vọng và phương sai ta có:
E (X) = 9/7; V (X) ≈ 0,49