Bài 5: Hai hình bằng nhau - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 5: Hai hình bằng nhau

Bài 20 (trang 23 sgk Hình học 11 nâng cao): Chứng tỏ hai hình chữ nhât cùng kích thước (cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau

Giải sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có:

+) AB = CD = A’B’ = C’D’

+) AD = BC = A’D’ = B’C’.

Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau do đó có phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Khi đó phép dời hình F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’.

Nhưng vì O và O’ lần lượt cũng là trung điểm BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’

Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa hai hình chữ nhật đó bằng nhau.

Bài 21 (trang 23 sgk Hình học 11 nâng cao):

a) Chứng tỏ rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

b) Chứng minh rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

c) Hai tứ giác có các cặp canh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

a) Giả sử hai tứ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ có:

+) AB =A’B’,

+) BC=B’C’,

+) CD=C’D’,

+) DA=D’A’

+) AC=A’C’.

Khi đó hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến 3 điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A’, B’, C.

Gọi D’’ là điểm đối xứng với D’ qua đường thẳng A’C’ thì 2 tam giác A’C’D’ và A’C’D’’ bằng nhau và theo giả thiết, cùng bằng tam giác ACD. Bởi vậy phép F chỉ có thể biến điểm D thành điểm D’ hoặc D’’ (do phép dời hình bảo toàn độ dài đoạn thẳng)

Vì ABCD là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau.

A’B’C’D’ cũng là tứ diện lồi nên hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau và do đó hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’’ không cắt nhau.

Từ đó suy ra F biến D thành D’.

Vậy F biến tứ giác ABCD thành tứ giác A’B’C’D ’ và do đó 2 tứ giác đó bằng nhau.

b) Giả sử 2 tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có:

AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’ và góc ABC bằng A’B’C. Khi đó AC = A’C’ và ta đưa về trường hợp ở câu a

c) Có thể không bằng nhau. Hai hình thoi có cạnh bằng nhau nhưng có thể là hai hình không bằng nhau (vì phép dời hình biến góc thành góc bằng nó)

Bài 22 (trang 23 sgk Hình học 11 nâng cao): Đa giác lồi n cạnh, gọi là n-giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau.

Chứng tỏ rằng hai n-giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau

Theo định nghĩa. Hai n-giác đều bằng nhau thì cạnh bằng nhau.

Ngược lại giả sử hai n-giác đều A₁A₂…A_n và A'₁A'₂... A'_n có cạnh bằng nhau. Khi đó nếu gọi O và O’ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó thì hai tam giác OA₁A₂ và O’A’₁A’₂ bằng nhau.

Vậy có phép dời hình F biến tam giác OA₁A₂ thành tam giác O'A'₁A'₂. Vì hai tam giác OA₂A₃ và O'A'₂A'₃ cùng bằng nhau nên F biến điểm A₃ thành điểm A'₃. (Vì A₃ không thể biến thành A’₁).

Lập luận tương tự ta cũng có F biến các điểm A₄…. A_n lần lượt thành các điểm A'₄ …. A'_n. Như vậy hai đa giác đều đã cho bằng nhau.

Bài 23 (trang 23 sgk Hình học 11 nâng cao): Hình H₁ gồm 3 đường tròn (O₁; r₁), ( O₂; r₂), ( O₃; r₃) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình H₂ gồm ba đường tròn (I₁; r₁), ( I₂; r₂), ( I₃; r₃) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Chứng tỏ rằng hai hình H₁ và H₂ bằng nhau.

Ta có: O₁O₂ = r₁ + r₂ = I₁I₂

O₂O₃ = r₂ + r₃ = I₂I₃

O₃O₁ = r₃ + r₁ = I₃I₁

Suy ra Δ O₁O₂O₃= Δ I₁I₂I₃

Nên có phép dời hình F biến ba điểm O₁,O₂,O₃lần lượt ba điểm I₁,I₂,I₃. Hiển nhiên khi đo F biến ba đường tròn (O₁; r₁), ( O₂; r₂), ( O₃; r₃) lần lượng thành ba đường tròn (I₁; r₁), ( I₂; r₂), ( I₃; r₃) tức là biến hình H₁ thành hình H₂. Vậy hai hình H₁ và H₂ bằng nhau

Bài 24 (trang 23 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bình hành.

Bài giải:

Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau,

Giải thích: Vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần này thành phần kia.

Bởi vậy, nếu cho hai hình bình hành, ta chỉ cần vẽ đường thẳng đi qua tâm chúng thì đường thẳng đó sẻ chia mỗi hình bình hành thành hai phần bằng nhau

Nếu tâm hai hình bình hành trùng nhau thì mọi đường thẳng đi qua tâm đó đều chia mỗi hình bình hành thành hai phần bằng nhau