Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 nâng cao > Câu hỏi và bài tập chương 3 - Giải BT Toán 11 nâng cao

Câu hỏi và bài tập chương 3 - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Câu hỏi và bài tập chương 3

Bài 44 (trang 122 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng:

Giải bài 44 trang 122 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1

Bài giải:
Giải bài 44 trang 122 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1
Giải bài 44 trang 122 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 2

Bài 45 (trang 123 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

Giải bài 45 trang 123 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1
Bài giải:
Giải bài 45 trang 123 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1

Bài 46 (trang 123 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

Giải bài 46 trang 123 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1
Bài giải:
Giải bài 46 trang 123 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1

Bài 47 (trang 123 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a) Dãy số (un) với un = 8n + 3

b) Dãy số (un) với un = n2 + n + 1

c) Dãy số (un) với un = 3.8n

d) Dãy số (un) với un = (n + 2)2.3n

Bài giải:

a) Ta có: un + 1 - un = 8 (n + 1) + 3 – (8n + 3) = 8, Ɐn ≥ 1

Suy ra (un) là cấp số cộng với công sai d=8.

Giải bài 47 trang 123 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1
Giải bài 47 trang 123 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 2

Bài 48 (trang 123 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Hãy chọn những khẳng định đúng trong những khẳng định dưới đây:

a) Dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3 và un +1 = un + 5 với mọi là một cấp số cộng

b) Dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3 và un +1 = un + n với mọi là một cấp số cộng

c) Dãy số (un)xác định bởi: u1 = 4 và un +1 = 5un với mọi n ≥ 1 là một cấp số nhân

d) Dãy số (un)xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = nun với mọi n ≥ 1 là một cấp số nhân

Bài giải:

Giải bài 48 trang 123 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1

Bài 49 (trang 124 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy hình vuông H1, H2,... , Hn với mỗi số nguyên dương n, gọi un, pn và sn lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích hình vuông Hn.

a) Giả sử dãy số (un)là một cấp cộng với công sai khác 0. Hải khi đó các dãy số (pn) và (sn) có phải các cấp số cộng hay không? Vì sao?

b) Giả sử (un)là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (pn) và (sn)có phải là các cấp số nhân hay không? vì sao?

Bài giải:

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng (un), d ≠ 0. Khi đó với mọi n ∈ N*, ta có:

Pn + 1 - pn = 4 (un+ 1 - un) = 4d (không đổi)

Vậy (pn) là cấp số cộng

Sn + 1 - Sn = (un+1 - un) (un+1 + un) = d (un+1 + un)

không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (Sn)không là cấp số cộng.

b)

Giải bài 49 trang 124 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1

Bài 50 (trang 124 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

Cho dãy số (un) xác đinh bởi u1 = 3 và Giải bài 50 trang 124 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1 với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Bài giải:

Ta chứng minh un = 3 (1) bằng phương pháp quy nạp

Với n=1 ta có u1 = 3: (1) đúng

Giả sử uk = 3 ta chứng minh uk + 1 = 3

Thật vậy ta có:

Giải bài 50 trang 124 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1

Vậy un = 3 Ɐn ≥ 1 do đó (un) vừa là cấp số cộng công sai

d = 0 vừa là cấp số nhân công bội q = 1.

Bài 51 (trang 124 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng lên 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un và vn tương ứng là giá của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

a) Hãy tính u2, u3, v2, v3

b) Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng và dãy số (vn) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c) Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dung cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chon ở cơ sở nào, chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?

d) Cũng câu hỏi như phần c), với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Bài giải:

a) u2 = u1 + 500 = 8000 + 500 = 8500

u3 = u2 + 500 = 8500 + 500 = 9000

v2 = v1 + v1. 0,07 – v1 (1 + 0,07) = v1.1,07 = 6000.1,07 = 6420

v3 = v2 + v2.0,07 = v2(1 + 0,07) = v2.1,07 = 6420.1,07 = 6869,4

b) Theo giả thiết của bài toán, ta có:

u1 = 8000 và un + 1 = un + 500 với mọi n ≥ 1 (1)

v1 = 6000 và vn + 1 = vn + vn.0,07 = vn(1 + 0,07) = vn.1,07 với mọi n ≥ 1 (2)

Từ (1) suy ra (un)là một cấp số cộng với công sai d=500 và số hạng đầu u1 = 8000

Số hạng tổng quát: un = 8000 + (n – 1).500 = 7500 + 500n

Từ (2) suy ra (vn) là một cấp số nhân với công bội q=1,07 và số hạng đầu v1 = 6000

Số hạng tổng quát: vn = 6000. (1,07)n - 1

c) Kí hiệu A20 và B20 tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B. Từ kết quả phần b) ta có:

Giải bài 51 trang 124 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao ảnh 1

Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thue cơ sở B.

d) Kí hiệu A25 và B25 tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.

Bằng cách tương tự như ở phần c) ta tình được A25 = 350000 và B25 = 37494,22629...

Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.