Câu hỏi và bài tập chương 3 - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 49 (trang 124 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy hình vuông H₁, H₂,... , H_n với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n, p_n và s_n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích hình vuông H_n.

a) Giả sử dãy số (u_n)là một cấp cộng với công sai khác 0. Hải khi đó các dãy số (p_n) và (s_n) có phải các cấp số cộng hay không? Vì sao?

b) Giả sử (u_n)là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (s_n)có phải là các cấp số nhân hay không? vì sao?

Bài giải:

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng (u_n), d ≠ 0. Khi đó với mọi n ∈ N*, ta có:

P_{n + 1} - p_n = 4 (u_{n+ 1} - u_n) = 4d (không đổi)

Vậy (p_n) là cấp số cộng

S_{n + 1} - S_n = (u_n+1 - u_n) (u_n+1 + u_n) = d (u_n+1 + u_n)

không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (S_n)không là cấp số cộng.

b)

Bài 50 (trang 124 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi u₁ = 3 và với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Bài giải:

Ta chứng minh u_n = 3 (1) bằng phương pháp quy nạp

Với n=1 ta có u₁ = 3: (1) đúng

Giả sử u_k = 3 ta chứng minh u_{k + 1} = 3

Thật vậy ta có:

Vậy u_n = 3 Ɐn ≥ 1 do đó (u_n) vừa là cấp số cộng công sai

d = 0 vừa là cấp số nhân công bội q = 1.

Bài 51 (trang 124 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng lên 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu u_n và v_n tương ứng là giá của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

a) Hãy tính u₂, u₃, v₂, v₃

b) Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng và dãy số (v_n) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c) Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dung cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chon ở cơ sở nào, chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?

d) Cũng câu hỏi như phần c), với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Bài giải:

a) u₂ = u₁ + 500 = 8000 + 500 = 8500

u₃ = u₂ + 500 = 8500 + 500 = 9000

v₂ = v₁ + v₁. 0,07 – v₁ (1 + 0,07) = v₁.1,07 = 6000.1,07 = 6420

v₃ = v₂ + v₂.0,07 = v₂(1 + 0,07) = v₂.1,07 = 6420.1,07 = 6869,4

b) Theo giả thiết của bài toán, ta có:

u₁ = 8000 và u_{n + 1} = u_n + 500 với mọi n ≥ 1 (1)

v₁ = 6000 và v_{n + 1} = v_n + v_n.0,07 = v_n(1 + 0,07) = v_n.1,07 với mọi n ≥ 1 (2)

Từ (1) suy ra (u_n)là một cấp số cộng với công sai d=500 và số hạng đầu u₁ = 8000

Số hạng tổng quát: u_n = 8000 + (n – 1).500 = 7500 + 500n

Từ (2) suy ra (v_n) là một cấp số nhân với công bội q=1,07 và số hạng đầu v₁ = 6000

Số hạng tổng quát: v_n = 6000. (1,07)^{n - 1}

c) Kí hiệu A₂₀ và B₂₀ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B. Từ kết quả phần b) ta có:

Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thue cơ sở B.

d) Kí hiệu A₂₅ và B₂₅ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.

Bằng cách tương tự như ở phần c) ta tình được A₂₅ = 350000 và B₂₅ = 37494,22629...

Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.