Bài 6: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương 2: Tổ hợp và xác suất.
B. Xác suất
Bài 6: Biến ngẫu nhiên rời rạc
Bài 43 (trang 90 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một cuộc điều tra được tiến hành như sau: chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trên đường và hỏi xem gia đình bạn đó có bao nhiêu người. Gọi X là số người trong gia đình bạn học sinh đó. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không? Tại sao?
Bài giải:X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vì:
- Giá trị của X là một số thuộc tập hợp {1,2, …, 100} (vì số người trong mỗi gia đình ở VN không thể vượt quá 100).
- Giá trị của X là ngẫu nhiên (vì nó phụ thuộc vào bạn học sinh mà ta chọn ngẫu nhiên)
Bài 44 (trang 90 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trai trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X (giả thiết rằng xác suất sinh con trai là 0,5)
Bài giải:X là một biến ngẫu nhiên rời rạc.
Tập hợp các giá trị của X là {0,1,2,3}.
Để lập bảng phân bố xác suất của X ta phải tính các xác suất:
+) P (X = 0),
+) P (X = 1),
+) P (X = 2),
+) P (X = 3).
Không gian mẫu gồm 8 phần tử sau:
{TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG}
(trong đó T: trai, G: gái)
Như vậy không gian mẫu gồm 8 kết quả đồng khả năng.
Gọi Ak là biến cố “gia đình có k con trai” (k = 0,1,2,3)
P (X = 0) = P (Ao) = 1/8 (vì chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho Ao là GGG)
P (X = 1) = P (A1) = 3/8 (vì có 3 kết quả thuận lợi cho A1 là TGG, GTG, GGT)
P (X = 2) = P (A2) = 3/8 (vì có 3 kết quả thuận lợi cho A2 là GTT, TGT, TTG)
P (X = 3) = P (A3) = 1/8 (vì chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho A3 là TTT)
Vậy bảng phân bố xác suất của X là:
Bài 45 (trang 90 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:
Biết rằng nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường them bác sĩ trực.
a) Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy.
b) Tính xác suất để có ít nhất 1 ca cấp cứu vào tối thứ bảy.
Bài giải:a) Gọi A là biến cố “phải tăng cường them bác sĩ trực”. từ điều kiện của bài ra, ta có:
P (A) = P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,35
b) P (X > 0)=1 - P (X = 0) = 1 - 0,15 = 0,85.
Bài 46 (trang 90 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa (từ 12h đến 13h) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau:
Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12h30’ đến 12h31’ có nhiều hơn 2 cuộc gọi.
Bài giải:Ta có: P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5)
= 0,15 + 0,1 + 0,1 = 0,35
Bài 47 (trang 91 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 44 (chính xác đến hàng phần trăm)
Bài giải:Ta có X = {0,1,2,3}
Bảng phân bố xác suất của X là:
Bài 48 (trang 91 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 45 (chính xác đến hàng phần trăm)
Bài giải:Ta có X = {0,1,2,3,4,5}
Bảng phân bố xác suất của X là:
Bài 49 (trang 91 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 46 (chính xác đến hàng phần trăm)
Bài giải:Ta có: X= {0,1,2,3,4,5}
Bảng phân bố xác suất của X là:
