Luyện tập (trang 219) - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 47 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

a) Cho f (x) = tanx. Tính f⁽ⁿ⁾(x)với n = 1,2,3

b) Chứng minh rằng nếu: f (x) = sin²x thì f^(4x)(x) = -2^{4n -1}cos2x (1)

Bài giải:

a) f’ (x) = 1 + tan²x

f’’ (x) = 2tanx (1 + tan²x)

f⁽³⁾(x) = 2 (1 + tan²x) ² + 4tan²x (1 + tan²x)

b) Với n = 1 ta có

f' (x) = sin2x

f’’ (x) = 2cos2x

f⁽³⁾(x) = -4sin2x

f⁽⁴⁾(x) = -8cos2x

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n=k tức là: f^(4k)(x) = -2^{4k -1}cos2x

Với n = k+1 ta có:

f^(4k+1)(x) = (f^4k(x)) = 2^4ksin2x

f^(4k+2)(x) = 2f^4k+1cos2x

f^(4k+3)(x) = -2f^4k+2sin2x

f^(4k+4)(x) = -2f^4k+3cos2x

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n.

Bài 48 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng:

a) Nếu y = Asin (ω t + φ) + Bcos (ω t + φ), trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì y’’ + ω²y = 0
Bài giải:

a) y = Asin (ω t + φ) + Bcos (ω t + φ)

y’ = Aω cos (ω t + φ) - Bω sin (ω t + φ)

y’’ = -Aω² sin (ω t + φ) - Bω² cos (ω t + φ)