Bài 8: Hàm số liên tục - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương 4: Giới hạn B. Giới hạn của hàm số

Bài 8: Hàm số liên tục

Bài 46 (trang 172 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng:

Bài giải:

a) Hàm số f (x) = x³ - x + 3 xác định trên R. Với mọi x_o ∈ R, ta có:

Vậy f liên tục tại điểm x_o.

Do đó hàm số f liên tục tại mọi điểm của R

Chứng minh tương tự, hàm số g liên tục tại mọi điểm của R.

b) Với mọi x ≠ 2, ta có:

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x = 2

c) Với mọi x ≠ 1, ta có:

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1.

Bài 47 (trang 172 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng:

Bài giải:

a) Hàm số f (x) = x⁴ - x² + 2 xác định trên R. Với mọi x_o ∈ R ta có:

Vậy f liên tục tại x_onên f liên tục tại R

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi:

1 – x² > 0 ⇔ - 1 < x < 1

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1; 1)

Với mọi x_o ∈ (-1; 1), ta có:

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x_o. Do đó f liên tục trên khoảng (-1; 1)

Bài 48 (trang 173 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:

Bài giải:

Tập xác định của hàm số f là R\ {-1/2}

Hàm phân thức hữu tỉ f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng

(-∞; 1/2) và (-1/2; +∞).

Hàm số f xác định khi và chỉ khi:

Do đó tập xác định của hàm số f là (-∞; 1)

Với mọi x ∈ (-∞; 1) ta có:

Bài 49 (trang 173 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng phương trình: x²cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực thuộc khoảng (0; π)

Bài giải:

Hàm số f (x) = x²cosx + xsinx + 1 = 0 liên tục trên đoạn [0; π], f (0) = 1 > 0, f (π) = 1 - π² < 0.

Vì f (0).f (1) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c ∈ (0; π) sao cho f (c)=0.

Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.

Bài trước: Luyện tập (trang 167) - Giải BT Toán 11 nâng cao Bài tiếp: Luyện tập (trang 175-176) - Giải BT Toán 11 nâng cao