Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 21 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Các mệnh đề sau đúng hai sai?
a) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
b) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
c) Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
d) Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
e) Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng trước thì luôn đi qua một đườngcố định.
f) Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
g) Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và ba cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều.
Bài giải:a) Sai (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) nhưng (P) và (Q) cắt nhau như hình vẽ sau:
b) Mệnh đề Sai.
Vì: (P) ⊥ (R) (Q) ⊥ (R) nhưng (P) có thể song song với (Q).
c) Mệnh đề Sai
Vì: Lấy a ⊥ (R) thì có số mp (P) chứa a và vuông góc với (R).
d) e) g) Mệnh đề Đúng.
f) Mệnh đề Sai.
Bài 22 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu AC’ = BD = B’D = √ (a2 + b2 + c2) thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không? Tại sao?
Bài giải:
Áp dụng tính chất tổng bình phương hai đường chéo hình bình hành bằng tổng bình phương 4 cạnh của nó (BT 38,4, chương II)
Ta có:
AC'2+A'C2=2 (AA'2+A'C2)
B'D2+BD'2=2 (BB'2+BD2)
AC'2+A'C2+BD'2+BD'2
= 2 (c2+c2+AC2+BD2)
= 4 (a2+b2+c2)
A’C = AC’ = B’D = BD’.
AA’C’C và BB’D’D là các hình chữ nhật.
Từ đó suy ra AA’ ⊥ AC và AA’ ⊥ BD. Do đó AA’ ⊥ (ABCD), tức hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
Bài 23 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
b) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Bài giải:
b) Gọi M là trung điểmcủa BC thì MA = MC’ (vì cùng bằng (a√5)/2) nên M thuộc mặt phẳng trung trực (α) của AC’.
Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cùng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B).
Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bới mp (a) là MNPQRS. Đây là lục giác đều cạnh bằng (a√2)/2. Từ đó suy ta tính được diện tích của thiết diện là
Bài 24 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o?
Bài giải:
Bài 25 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C Є (P), D Є (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a
Bài giải:
Gọi I là trung điểm của BC thì AI ⊥ BC. Do BD ⊥ mp (ABC) nên AI ⊥ CD (định lí ba đường vuông góc).
Trong mp (CDB), kẻ IJ vuông góc với CD (J Є CD) thì mp (AIJ) chính là mp (α) và thiết diện phải là tam giác AIJ
Δ AIJ là tam giác vuông tại I.
Bài 26 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau?
a) Tứ diện ABC’D’có các cạnh bằng nhau;
b) Tứ diện ABC’D’có các cạnh đối vuông góc
c) Tứ diện ABC’D’là tứ diện đều.
Bài giải:
a) Ta có B’D’ = BD
Vậy AC = B’D’ ⇒ AC = BD, thì ABCD là hình chữ nhật.
Tương tự ta cũng có ABB’A’ và ADD’A’ là những hình chữ nhật. Vậy khi tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối diện bằng nhau thì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
Ngược lại khi ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật thì dễ thấy tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối diện bằng nhau.
b) Ta có BD // B’D’. Vậy AC ⊥ B’D’ ⇒ AC ⊥ BD. Khi đó ABCD là hình thoi. Tương tự như trên ta cũng có ABB’A’ và ADD’A’ là những hình thoi. Vậy hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp thoi (tức sáu mặt của hình hộp là hình thoi).
Cũng dễ thấy rằng nếu ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp thoi tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối diện vuông góc.
c) Khi AB’C’D’ là tứ diện đều thì các cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa vuông góc, áp dụng kết quả của các câu a) và b) ta có: Khi AB’CD’ là tứ diện đều thì hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương.
Ngược lại nếu ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương thì AB’CD’ là tứ diện đều.
Bài 27 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Tính AB, IJ theo a và x.
b) Với giá trị nào của x thì hai mp (ABC) và (ABD) vuông góc?
Bài giải:
a) Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD. Do mặt phẳng (ACD) ⊥ mặt phẳng (BCD) nên AJ ⊥ mp (BCD). Mặt khác AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra:
Bài 28 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giac abc và mp (P). Biết góc giữa mp (P) và mp (ABC) là φ (φ ≠ 90o); hình chiếu của tam giác ABC trên mp (P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng SA'B'C'= cosφ
Hướng dẫn: Xét hai trường hợp.
a) Tam giác ABC có 1 cạnh song song hoặc nằm trong mp (P).
b) Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp (P).
Bài giải:a) Xét trường hợp tam giác ABC có 1 cạnh, chẳng hạn BC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P), kẻ đường cao A’H của tam giác A’BC (H Є BC) thì:
Trường hợp cạnh BC của tam giác ABC song song với mặt phẳng (P). Xét mặt phẳng (Q) chứa BC và song song với mặt phẳng (P). Mọi giao điểm của AA’ với mặt phẳng (Q) là A1. Khi đó ta có Δ A1BC = Δ A’B’C’; góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (Q) bằng φ do đó SA'B'C' = SA1BC = SABC.cosφ
b) Xét trường hợp tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mặt phẳng (P). Ta có thể giả sử (P) đi qua điểm A sao cho các đỉnh B, C ở về cùng 1 phía đối với mp (P). Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (P); B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B, C trên (P) thì B’C’ đi qua D. Khi đó trường hợp a) ta có:
sADC'=SADC.cosφ
SADB'=sADB.cosφ
Trừ từng về hai đẳng thức trên ta có:
SA'B'C' = sABC.cosφ
Vậy mọi trường hợp ta đều có: SA'B'C'=SABC.cosφ
