Bài 3: Phép đối xứng trục - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 9 (trang 13 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho góc nhọn xOy và môt điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Bài giải:

Xét tam giác bất kì ABC có B và C lần lượt nằm trên hai tia Ox và Oy. Gọi A’ và A’’ là các điểm đối xứng với điểm A lần lượt qua các đường thẳng Ox và Oy.

Ta có AB = A’B và AC = A’’C (do các Δ ABA’ và Δ ACA” là các tam giác cân). Gọi 2p là chu vi của tam giác ABC thì:

2p = AB + BC + CA = A’B + BC + CA” ≥ A’A”

Dấu “=” xảy ra khi bốn điểm A’, B, C, A” thẳng hàng.

Suy ra để chu vi tam giác ABC bé nhất thì phải lấy B và C lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng A’A” với hai tia Ox và Oy (các giao điểm đó tồn tại vì góc xOy nhọn)

Bài 10 (trang 13 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O; R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trục tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định.

Hướng dẫn: Khi BC không phải là đường kính, gọi H’ là giao điểm của đường thẳng AH với đường tròn (O; R). Chứng minh rằng H đối xứng với H’ qua đường thẳng BC.

Bài giải:

Trường hợp BC là đường kính thì H trùng A, do đó H nằm trên đường tròn cố định (O; R)

Xét trường hợp BC không là đường kính.

Giả sử đường thẳng AH cắt đường tròn (O; R) tại H’.

Như vậy với mỗi điểm A Є (O; R) khác với B và C thì ta xác định điểm H’Є (O; R).

Gọi AA’ là đường kính của đường tròn (O; R) thì A’B // CH (Vì cùng vuông góc với AB) và A’C//BH (vì cùng vuông góc AC) nên A’BHC là hình bình hành.

Vậy BC đi qua trung điểm của HA’.

Mặt khác BC//A’H’ (Vì cùng vuông góc với AH) nên BC cùng đi qua trung điểm của HH’.

Do đó H và H’ đối xứng với nhau qua BC.

Nếu gọi Đ là đối xứng có trục là đường thẳng BC thì Đ biến H’ thành H.

Nhưng H’ luôn luôn nằm trên (O; R) nên H nằm trên đường tròn cố định là ảnh hưởng của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng trục Đ

Cách khác: gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp, từ đó suy ra H’ nằm trên (O; R)

Bài 11 (trang 14 sgk Hình học 11 nâng cao):

a) Chỉ ra trục đối xứng (nếu có) của mỗi hình sau đây (mỗi hình là một từ bao gồm một số chữ cái):

MÂM, HOC, NHANH, HE, SHE, COACH IS IT, SOS CHEO

b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số chẵn luôn có trúc đối xứng.

Bài giải:

a) Các hình có trục đối xứng là những từ sau đây:

b) Trục Oy luôn là trục đối xứng của đồ thị hàm số chẵn y = f (x)

Thật vậy nếu điểm M (x; y) thuộc đồ thị, tức là y = f (x) thì điểm đối xứng với M qua Oy là điểm M (-x; y) cũng thuộc đồ thị vì:

f (-x) = f (x) = y