Luyện tập (trang 195) - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 11 (trang 195 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho hàm số y=f (x) có đạo hàm tại điểm x_o và đồ thị (G). Mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu f’ (x_o) = 0 thì tiếp tuyến của (G) tại điểm M (x_o; f (x_o)) song song với trục hoành.

b) Nếu tiếp tuyến của (G) tại điểm M (x_o; f (x_o)) song song với trục hoành thì f’ (x_o) = 0

a) Mệnh đề sai vì tiếp tuyến có thể trùng với trục hoành

Ví dụ: Cho hàm số f (x)²với x_o = 0 thì f (0) và tiếp tuyến tại điểm O (0; 0) trùng với trục hoành.

Mệnh đề sau đây mới đúng: ”Nếu f’ (x_o) = 0 thì tồn tại tiếp điểm tại điểm M_o(x_o; f (x_o)) của đồ thị hàm số y=f (x) song song hoặc trùng với trục hoành. ”

b) Mệnh đề đúng: vì nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f (x) tại điểm M_o(x_o; f (x_o))song song với trục hoành thị hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng 0, suy ra f (x_o) = 0

Bài 12 (trang 195 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Hình bên là đồ thị của hàm số y = f (x) trên khoảng (a; b). Biết rằng tại các điểm M₁, M₂, M₃, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhân xét về dấu của f’ (x₁), f’ (x₂), f’ (x₃)

Đồ thị của hàm số y=f (x) có tiếp tuyến tại các điểm M₁, M₂, M₃ nên hàm số y=f (x) có đạo hàm tại các điểm x₁, x₂, x₃. Ta nhận thấy:

+ Tiếp tuyến tại điểm là một đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số âm, suy ra f’ (x₁) < 0

+ Tiếp tuyến tại điểm là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0, suy ra f’ (x₂) = 0

+ Tiếp tuyến tại điểm là một đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số dương, suy ra f’ (x₃) > 0

Bài 13 (trang 195 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm (x_o; f (x_o)), điều kiện cần và đủ là:

Đường thẳng (d): y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị (G) của hàm số f tại điểm (x_o; f (x_o)) khi và chỉ khi đồng thời xảy ra:

• (d) và (G) cùng đi qua điểm (x_o; f (x_o)), tức là ax_o + b = f (x_o)

•Hệ số góc của (d) bằng đạo hàm của f tại x_o, tức là a = f’ (x_o). Từ đó suy ra đpcm.

Bài 14 (trang 195 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho hàm số y = |x|

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0

b) Tính đạo hàm của hàm số tại x=0 nếu có

c) mệnh đề “hàm số liên tục tại điểm x_othì có đạo hàm tại điểm x_o” đúng hay sai?

c) Mệnh đề sai. Thật vậy, hàm số f (x) = |x| liên tục tại điểm x=0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).

Bài 15 (trang 195 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Hình bên là đồ thị của hàm số y=f (x) xác định trên khoảng (a; b). Dừa vào hình vẽ cho biết mỗi điểm x₁, x₂, x₃, x₄:

a) Hàm số có liên tục hay không?

b) Hàm số có đạo hàm hay không? Hãy tính đạo hàm nếu có.

Căn cứ vào hình ta thấy:

+ Hàm số đã cho gián đoạn tại các điểm x₁, x₃; vì đồ thị hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm M₁, M₃

+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm x₂, x₄; vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi đi qua các điểm M₂, M₄

+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x₂; vì điểm M₂ đồ thị là đường “gấp khúc” (và hiển nhiên tại đố không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số), giống như đồ thị hàm số y = |x|

+ Hàm số có đọa hàm tại điểm M₄ và f (x₄) = 0; vì tại điểm M₄ đồ thị của hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.