Luyện tập (trang 16-17) - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Luyện tập (trang 16-17)
Bài 7 (trang 16 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
Bài giải:
Bài 8 (trang 16 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho các hàm số sau:
Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f (x) đều có tính chất:
f (x + kπ) = f (x), k ∈ Z và x thuộc tập xác định của hàm số f.
Bài giải:Với k ∈ Z ta có:
a) f (x) = -sin2x
f (x + kπ) = -sin2(x + kπ) = - [(-1)ksinx]2 = -sin2x = f (x)
b) f (x) = 3tan2x + 1
f (x + kπ) = 3tan2(x + kπ) + 1 = 3tan2x + 1 = f (x)
c) f (x) = sinxcosx
f (x + kπ) = y = sin (x + kπ)cos (x + kπ) = (-1)ksinx (-1)kcosx = sinxcosx = f (x)
d)
Bài 9 (trang 17 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
Bài giải:
Bài 10 (trang 17 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y = x/3 với đồ thị của hàm số y = sin x đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn √ 10.
Bài giải:Chỉ có đoạn thẳng EF của đường thẳng đó nằm trong dải | (x; y)|-1 ≤ y ≤ 1 (dải này chứa đồ thị của hàm số y = sin x). Vậy các giao điểm của đường thẳng y = x/3 với đồ thị của hàm số y = sin x phải thuộc đoạn thẳng EF, mọi điểm của đoạn thẳng này cách O một khoảng không dài hơn √ (9 + 1) = √ 10 (và rõ ràng E, F không thuộc đồ thị của ham số y = sin x).
Bài 11 (trang 17 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Từ đồ thị của hàm số y = sin x hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó:
a) y = -sinx
b) y = |sin x|
c) y = sin |x|
Bài giải:a) Đồ thị của hàm số y = -sinx là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = sin x
b)
Do đó đồ thị của hàm số y = |sin x| có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sinx bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y ≥ 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox).
- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox).
- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0.
- Đồ thị y = |sin x| là đường nét liền trong hình dưới đây:
c)
Do đó đồ thị của hàm số y = sin|x| có được từ đồ thị (C) của hàm số y=sinx bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng x ≥ 0 (tức là nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ Oy).
- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng x < 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ Oy).
- Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng x > 0.
- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0.
- Đồ thị y = sin|x| là đường nét liền trong hình dưới đây:
Bài 12 (trang 17 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
a) Từ đồ thị hàm số y = cosx hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó:
b) Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không?
Bài giải:a) Đồ thị của hàm số y = cosx + 2 được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx lên trên một đoạn có độ dài bằng 2, tức là tịnh tiến theo vectơ 2j (
b)
Bài 13 (trang 17 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Xét hàm số y = f (x) = cos (x/2)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f (x + k4π) = f (x), ∀ x
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = cos (x/2) trên đoạn [-2π 2π]
c) Vẽ đồ thị của các hàm số y = cosx và y = cos (x/2) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy.
d) Trong mặt phẳng tọa dộ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm (x; y) thành điểm (x’; y’) sao cho x’=2x và y’=y. Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số y=cosx thành đồ thị của hàm số y = cos (x/2).
Bài giải: