Luyện tập (trang 121) - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Luyện tập (trang 121)

Bài 38 (trang 121 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

Bài tập đang trong quá trình biên soạn.

Bài 39 (trang 122 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời, các số x-1, y+2, x-3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

Bài giải:

Vì các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên:

2 (5x + 2y) = (x + 6y) + (8x + y) ⇒ x = 3y (1)

Vì các số x-1, y+2, x-3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên:

(y + 2)² = (x – 1)(x – 3y) (2)

Thế (1) vào (2), ta được (y + 2)² = 0 ⇒ y = -2. Từ đó x = -6

Bài 40 (trang 122 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho cấp số cộng (u_n) với công sai khác 0. Biết rằng các số u₁u₂, u₂u₃ và u₃u₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.

Bài giải:

Vì cấp số cộng (u_n) có công sai khác 0 nên các số u₁, u₂, u₃ đôi một khác nhau

⇒ u₁.u₂ ≠ 0 và q ≠ 1

Ta có u₂u₃ = u₁u₂.q và u₃u₁ = u₁u₂.q²

Từ đó suy ra: u₃ = u₁.q = u₂.q² (Vì u₁.u₂ ≠ 0). Do đó u₁ = u₂.q (vì q ≠ 0 theo giả thiết)

Vì u₁, u₂, u₃ là một cấp số cộng nênu₁ + u₃ = 2u₂, suy ra:

u₂(q + q²) = 2u₂

⇔ q² + q – 2 = 0 (vì u₂ ≠ 0)

⇔ q = -2 (vì q ≠ 1)

Bài 41 (trang 122 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ 3 của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.

Bài giải:

Kí hiệu (u_n) là cấp số cộng đã cho và gọi q là công bội của cấp số nhân u₁, u₂, u₃. Theo đề bai, ta cần tính q.

Vì cấp số cộng (u_n) có công sai khác 0 nên các số u₁, u₂, u₃ đôi một khác nhau, suy ra q ∉ {0; 1} và u₂ ≠ 0

Từ giả thiết của đề bài ta có:

u₁ = u₂.q, u₃ = u₂.q² và u₁ + u₃ = 2u₂, suy ra:

u₂(q + q²) = 2u₂ ⇔ q² + q – 2 = 0 (vì u₂ ≠ 0) ⇔ q = -2 (vì q ≠ 1)

Bài 42 (trang 122 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Hãy tìm 3 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng 148/9 và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ 4 và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Bài giải:

Kí hiệu u₁, u₂, u₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba của cấp số nhân nói trong đề bài; gọi q là công bội của cấp nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u₁, u₂, u₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Ta có u₁ ≠ 0, vì nếu ngược lại thì u₂ = u₃ = 0 và do đó: u₁ + u = u₁₂ + u₃ = 0 ≠ 148/9

Từ các giả thiết của đề bài ta có: u₂ = u₁.q = u₁ + 3d và u₃ = u₂.q = u₂ + 4d

Bài 43 (trang 122 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dẫy số (u_n) bởi:

u₁ = 1 và u_{n + 1} = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) với v_n = u_n +2 là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b) Dựa vào kết quả phần a). Hyax tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

Bài giải:

a) Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), suy ra với mọi n ≥ 1 ta có:

u_n+1 + 2 = 5 (u_n + 2) hay v_n+1 = 5v_n

Do đó (v_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu v₁ = u₁ + 2 = 3 và công bội q = 5

Số hạng tổng quát: v_n = 3.5^{n - 1}

b) u_n = v_n - 2 = 3.5^{n - 1} - 2 với mọi n ≥ 1

Bài trước: Bài 4: Cấp số nhân - Giải BT Toán 11 nâng cao Bài tiếp: Câu hỏi và bài tập chương 3 - Giải BT Toán 11 nâng cao