Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 nâng cao > Luyện tập (trang 109) - Giải BT Toán 11 nâng cao

Luyện tập (trang 109) - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Luyện tập (trang 109)

Bài 15 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (un) xác định bởi:

u1 = 3 và un + 1 = un + 5 với mọi

a) Hãy tính u2, u4 và u6

b) Chứng minh rằng un = 5n - 2 với mọi n ≥ 1

Bài giải:

a) Ta có: u2 = u1 + 5 = 8;

u3 = u2 + 5 = 13

u4 = u5 + 5 = 18

u5 = u4 + 5 = 23

u6 = u5 + 5 = 28

b) Ta sẽ chứng minh: un = 5n – 2 (1) với mọi n ∈ N*, bằng phương pháp quy nạp.

Với n=1, ta có u1 = 3 = 5.1 - 2

Như thế (1) đúng khi n = 1

Giả sử (1) đúng khi n=k, k ∈ n*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (un)và giả thiết quy nạp ta có: uk + 1 = uk + 5 = 5k – 2 + 5 = 5 (k + 1) - 2

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ∈ N*

*Cách khác: Ta có: un + 1 - un = 5 Ɐ n ≥ 1

Do đó: un = (un - un - 1) + (un - 1 - un - 2) + …+ (u2 - u1) + u1

Bài 16 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (un) xác định bởi:

a) Chứng minh rằng (un) là một dãy số tăng;

b) Chứng minh rằng un = 1 + (n – 1).2n với mọi n ≥ 1.

Bài giải:

a) Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có:

un + 1 - un = (n + 1).2n > 0 Ɐ n ≥ 1

Do đó (un) là một dãy số tăng.

b) Ta sẽ chứng minh un = 1 + (n – 1).22 (1) với mọi n ≥ 1, bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1, ta có u1 = 1 = 1 + (1 – 1).21. Như vậy (1) đúng khi n = 1

Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có:

uk + 1 = uk + (k + 1).2k = 1 + (k + 1).2k = 1 + (k – 1).2k + (k + 1).2k = 1 + k. 2k + 1

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọin ≥ 1.

Bài 17 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (un) xác định bởi:

Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau)

Bài giải:

Ta chứng minh un = 1 (1) Ɐ n ∈ N* bằng quy nạp

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có uk = 1

Ta chứng minh (1) với n=k+1, thật vậy ta có:

Vậy (1) đúng với n=k+1, do đó (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Bài 18 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

a) Chứng minh rằng Sn = Sn + 3 với mọi n ≥ 1;

b) Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Bài giải: