Luyện tập (trang 109) - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Luyện tập (trang 109)
Bài 15 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 3 và un + 1 = un + 5 với mọi
a) Hãy tính u2, u4 và u6
b) Chứng minh rằng un = 5n - 2 với mọi n ≥ 1
Bài giải:a) Ta có: u2 = u1 + 5 = 8;
u3 = u2 + 5 = 13
u4 = u5 + 5 = 18
u5 = u4 + 5 = 23
u6 = u5 + 5 = 28
b) Ta sẽ chứng minh: un = 5n – 2 (1) với mọi n ∈ N*, bằng phương pháp quy nạp.
Với n=1, ta có u1 = 3 = 5.1 - 2
Như thế (1) đúng khi n = 1
Giả sử (1) đúng khi n=k, k ∈ n*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1
Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (un)và giả thiết quy nạp ta có: uk + 1 = uk + 5 = 5k – 2 + 5 = 5 (k + 1) - 2
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ∈ N*
*Cách khác: Ta có: un + 1 - un = 5 Ɐ n ≥ 1
Do đó: un = (un - un - 1) + (un - 1 - un - 2) + …+ (u2 - u1) + u1
Bài 16 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (un) xác định bởi:
a) Chứng minh rằng (un) là một dãy số tăng;
b) Chứng minh rằng un = 1 + (n – 1).2n với mọi n ≥ 1.
Bài giải:a) Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có:
un + 1 - un = (n + 1).2n > 0 Ɐ n ≥ 1
Do đó (un) là một dãy số tăng.
b) Ta sẽ chứng minh un = 1 + (n – 1).22 (1) với mọi n ≥ 1, bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1, ta có u1 = 1 = 1 + (1 – 1).21. Như vậy (1) đúng khi n = 1
Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có:
uk + 1 = uk + (k + 1).2k = 1 + (k + 1).2k = 1 + (k – 1).2k + (k + 1).2k = 1 + k. 2k + 1
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọin ≥ 1.
Bài 17 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (un) xác định bởi:
Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau)
Bài giải:Ta chứng minh un = 1 (1) Ɐ n ∈ N* bằng quy nạp
Rõ ràng (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có uk = 1
Ta chứng minh (1) với n=k+1, thật vậy ta có:
Vậy (1) đúng với n=k+1, do đó (1) đúng với mọi n ∈ N*.
Bài 18 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
a) Chứng minh rằng Sn = Sn + 3 với mọi n ≥ 1;
b) Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài giải: