Câu hỏi và bài tập chương 5 - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bằng Phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

Bằng Phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

Bằng Phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

y ⁽²ⁿ⁾ = (-1) ⁿ2 ^2n-1cos2x

Bài 52 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

Bài giải:

Bài 53 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Gọi (C) là đồ thị của hàm số:

f (x) = x⁴ + 2x² - 1.

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8. x + 3

d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0; -6)

Bài giải:

* Với x_o = 1 ta có f’ (1) = 4.1³ + 4.1 = 8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là:

y – 2 = 8 (x – 1) ⇔ y = 8x – 6

* Với x_o = -1 ta có f’ (-1) = 4. (-1)³ + 4. (-1) = -8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là:

y – 2 = -8 (x – 1) ⇔ y = -8x – 6

b) Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x_othỏa:

f’ (x_o) = 0 ⇔ 4_o³ + 4x_o = 0 ⇔ 4x_o(x_o² + 1) = 0 ⇔ x_o = 0 (y_o = - 1)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (1) = 0 (x – 0) ⇔ y = -1

c) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8. x + 3, nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra: y’ = 8 ⇔ 4x³ + 4x – 8 = 0 ⇔ 4 (x – 1)(x² + x + 2) = 0 ⇔ x = 1

Theo câu a), ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2 (4x-3)

d) Cách 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (x_o; f (x_o)) của độ thị (C) là:

y = f’ (x_o) (x - x_o) + f (x_o) ⇔ y = 4x_o³ + 4x_o) (x - x_o) + x_o⁴ + 2x_o² - 1

Vì tiếp tuyến phải đi qua A (0; -6) nên ta có:

-6 = (4x_o³ + 4x_o) (0 - x_o) + x_o⁴ + 2x_o² - 1

⇔ 3x_o⁴ + 2x_o² - 5 = 0

⇔ x_o² = 1;

⇔ x_o = ±1

Theo câu a) phương trình của hai tiếp tuyến lần lượt là:

y =2 (4x-3) và y=-2 (4x-3)

Cách 2: Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A (0; -6) với hệ số góc bằng k là: y=kx-6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của độ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (c)) thì ta phải tìm k sao cho:

Khử k từ hệ trên ta được:

3x⁴ + 2x² - 5 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1

Suy ra k = ±8

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là: y = 2 (4x-3) và y = -2 (4x+3)

Bài 54 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số y = 1/ (x – 1) sao cho tiếp điểm tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Bài giải:

Bài 55 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P (x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng, điểm A thuộc (P) và tiếp điểm tại A của (P). Hãy tìm P (x) và vẽ lại độ thị (P)

Bài giải:

Đa thức phải tìm có dạng: P (x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Ta có: P’ (x) = 2a + b

Vì trục đối xứng có phương trình x = 1 nên: -b/2a = 1 (1)

Vì đồ thị (P) đi qua A (3; 0) nên ta có P (3) = 0, tức là 9a + 3b + c = 0 (2)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A (3; 0) bằng tanπ /4 nên ta có P’ (3) = 1, tức là:

6a + b=1 (3)

Giải hệ 3 phương trình (1), (2), (3) với ba ẩn a, b, c ta được:

Bài 56 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho parabol (P): y = x². Gọi M₁, M₂ là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x₁ = - 2, x₂ = 1. Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M₁M_2. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Bài giải:

Bài 57 (trang 222 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t³ - 3t² - 9t + 2. Ở đó, t tính bằng giây (s) t > 0 và s tính bằng mét (m).

a) Tính vận tốc tại thời điểm t = 2

b) Tính gia tốc tại thời điểm t = 3

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0

d) Tính vận tóc tại thời điểm gia tốc bằng 0

Bài giải:

Ta có s’ = 3t² - 6t – 9; s’’ = 6t – 6

a) Vận tốc tại thời điểm t = 2s là: v = s’ (2) = -9m/s

b) Gia tốc tại thời điểm t = 3 là: a = s’’ (3) = 12m/s²

c) v = s’ = 0 ⇔ 3t² - 6t – 9 = 0 ⇔ t = 3

a (3) = s’’ (3) = 12m/s²

d) a = s’’ = 0 ⇔ 6t -6 = 0 ⇔ t = 1

v (1) = s’ (1) = -12m/s