Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 nâng cao > Bài 5: Phép chiếu song song - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 5: Phép chiếu song song - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 5: Phép chiếu song song

Bài 40 (trang 74 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.

b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau.

c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau.

Bài giải:

a) Mệnh đền Sai vì nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng mà trùng nhau thì hai đường thẳng đó cùng thuộc 1 mặt phẳng

b) Mệnh đề Sai vì hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

c) Mệnh đề Đúng

d) Mệnh đề Sai

Bài 41 (trang 74 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.

b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau.

c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.

d) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu song song với nó.

e) Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu song song của nó.

f) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu song song của nó.

Bài giải:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

e) Sai

f) Đúng

Bài 42 (trang 74 sgk Hình học 11 nâng cao): Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm tam giác A’B’C’

Bài giải:


Gọi G là trọng tâm Δ ABC,

M là trung điểm BC.

G’, M’ là hình chiếu song song của G, M

Ta có: M’ là trung điểm B’C’ và (A'G')/ (G'Ms') = AG/GM = 2

G là trọng tâm Δ A’B’C’

Bài 43 (trang 75 sgk Hình học 11 nâng cao): Vẽ hình biểu diễn của một tứ diện và trọng tâm của nó

Bài giải:

Hình biểu diễn của một tứ diện là tứ giác ABCD lấy M và N lần lượt là trung điểm AB và CD thì trung điểm G của MN sẽ biễu diễn cho trọng tâm của tứ diện.

Bài 44 (trang 75 sgk Hình học 11 nâng cao): Vẽ hình biễu diễn của một tam giác nội tiếp trong một đường tròn

Bài giải:

Vẽ elip tâm O là hình biễu diễn của đường tròn đã cho.

Lấy B và C là hai điểm trên elip sao cho B, O, C thẳng hàng và một điểm A thuộc elip sao cho A khác B và C.

Khi đó tam giác ABC là hình biễu diễn của một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn.

Bài 45 (trang 75 sgk Hình học 11 nâng cao): Vẽ hình biễu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

Bài giải:

Theo bài 44, vẽ tam giác ABC là hình biểu diễn của 1tam giác vuông nội tiếp trong 1 đường tròn.

Qua O ta kẻ hai dây ME và NF của elip lần lượt song song với AC và AB. Khi đó tứ giác MNEF là hình biễu diễn của 1 hình vuông nội tiếp trong 1 đường tròn.

Bài 46 (trang 75 sgk Hình học 11 nâng cao): Vẽ hình biễu diễn của 1 lục giác đều.

Bài giải:

Xét hình lục giác đều ABCDEF, ta nhận thấy:

- Tứ giác OABC là hình thoi.

- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C, qua tâm O.

Từ đó suy ra cách vẽ hình biễu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau:

- Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biễu diễn cho hình thoi OABC.

- Lấy các điểm D’, E’, F’ lần lượt đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O, ta được hình biễu diễn A’B’C’D’E’F’ của hình lục giác đều ABCDEF.

Bài 47 (trang 75 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1.Tìm điểm trên đường chéo B1D và điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ / /BC1. Tính tỉ số ID/ (IB1)

Giả sử ta tìm đc I Є B1 D, J Є AC sao cho IJ // BC1. Xét phép chiếu song song theo phương BC1 nên mặt phẳng (ABCD). Khi đó hình chiếu của các điểm D, IB1 lần lượt là D, J và B'1. Do D, I, B1 thẳng hàng nên D, J, B1' thẳng hàng. Vậy J chính là giao điểm của hai đường thẳng B’1D và AC. Từ đó ta có thể tìm I, J như sau.

Bài giải:

- Dựng B'1 là hình chiếu B1 qua phép chiếu song song ở trên (BC1B1B’1 là hình bình hành).

- Dựng J là giao điểm của B'1D với AC.

- Trong mp (B1B'1D) kẻ JI song song với B1B'1 cắt B1D tại I

Rõ ràng I và J thỏa mãn điều kiện của bài toán