Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 nâng cao > Bài 5: Đạo hàm cấp cao - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 5: Đạo hàm cấp cao - Giải BT Toán 11 nâng cao

Chương 5: Đạo hàm

Bài 5: Đạo hàm cấp cao

Bài 42 (trang 218 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo?

a) f (x) = x4 - cos2x, f(4)(x)

b) f (x) = cos2x, f(5)x

c) f (x) = (x + 10)6, f(n)(x)

Bài giải:

a) f’ (x) = 4x3 + 2sin2x

f’’ (x) = 122 + 4cos2x

f(3)(x) = 24x – 8sin2x

f(4)(x) = 24 – 16cos2x

b) f’ (x) = 2cos (-sinx) = -sin2x

f’’ (x) = -2cos2x

f(3)(x) = 4sin2x;

f(4) = 8cos2x

f(5)(x) = -16sin2x

c) f’ (x) = 6 (x + 10) 5

f’’ (x) = 30 (x + 10) 4

f(3)(x) = 120 (x + 10) 3

f(4)(x) = 360 (x + 10) 2

f(5)(x) = 720 (x + 10)

f(6)(x) = 720

f(n)(x) = 0 Ɐn ≥ 7

Bài 43 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:


Bài giải:

b) Cho f (x) = cosx. Ta hãy chứng minh công thức:

f(4n)(x) = cosx (Ɐn ≥ 1)

(2) bằng phương pháp quy nạp

Ta có: f (x) = -sinx; f’’ (x) = -cosx; f’’’ (x) = sinx; f(4) (x) = cosx

+ Với n = 1 thì f(4n)(x) = f(4)(x) = cosx

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1),

tức là: f(4k)(x) = cosx,

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n=k+1,

tức là phải chứng minh: f(4k + 1)(x) = cosx (hay f(4k + 4)(x) = cosx)

Thật vậy, vì: f(4k)(x) = cosx nên f(4k + 1)(x) = -sinx

f(4k + 2)(x) = -cosx; f(4k + 3)(x) = sinx;

f(4k + 4)(x) = cosx

c) Ta có: f’ (x) = acosax; f’’ (x) = -a2(x) sinax

f(3)(x) = -a3cosax; f(4)(x) = a4sinax

Với n = 1 ta có f(4)(x) = a4sinax

đẳng thức đúng với n=1

Giả sử đẳng thức với n=k tức là f(4)(x) = a4ksinax

Với n=k+1 ta có f(4k + 4)(x) = (f(4k))(4)(x) = (a(4k)sinax) (4k) do f(4k) = a(4k)sinax

f(4k + 1)(x) = a(4k+1)cosax;

f(4k + 2)(x) = -a(4k+2)sinax;

f(4k + 3)(x) = -a(4k+3)cosax;

f(4k + 4) (x) = a(4k+4)sinax;

Vậy đẳng thức đúng với n=k+1, do đó đẳng thức đũng với mọi n.

Bài 44 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Vận tốc của một chất chuyển động được biểu thị bởi công thức v (t) = 8t + 32, trong đó t tính bằng giây (s), t > 0 và v (t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm.

a) Tại thời điểm t = 4s

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11m/s

Bài giải:

Ta có a (t)=v’t=8+6t

a) Khi t=4s thì a (4) = 32m/s2

b) Khi v (t)=11m/s thì ta được:

Với t=1s thì a (1) = 14m/2