Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 29 (trang 41 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm):

Bài giải:

a) 3cos2x + 10sinx + 1 = 0

Phương trình sinx = -1/3 có nghiệm gần đúng là x = -0,34

b)

Trong đó α là số thực thuộc khoảng (0; π) thỏa mãn cosα = -3/4. Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi ta tìm được α ≈ 2,42. Từ đó nghiệm gần đúng của phương trình là x ≈ 1,21.

c)

Nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng (0; π) là x ≈ 0,2 và x ≈ 2,68

d)

Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi ta tìm được β ≈ 1,03. Từ đó nghiệm gần đúng của phương trình là x ≈ 0,34.

Bài 30 (trang 41 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giải các phương trình sau:

a) 3cosx + 4sinx = -5

b) 2sin2x – 2cos2x = √ 2

c) 5sin2x - 6cos²x = 13

Bài giải:

a) Chia 2 vế của phương trình cho √ (3² + 4²) = 5 ta được:

Ta có cos (x - α) = -1 ⇔ x - α = π + k2π ⇔ x = α + π + k2π

b) Chia 2 vế của phương trình cho √ (2² + 2²) = 2√ 2 ta được:

c) 5sin2x - 6cos²x = 13 ⇔ 5sin2x - 3 (1 + cos2x) = 13 ⇔ 5sin2x - 3cos2x = 16

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 31 (trang 41 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một vật nặng treo bởi 1 chiếc lò xo chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = |d| trong đó d = 5sin6t - 4cos6t, với d được tính bằng cm, ta quy ước d > 0 khi vật ở trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở dưới vị trí cân bằng. Hỏi:

a) Ở vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên vật ở vị trí cân bằng?

b) Ở vào thời điểm nào trong 1 giấy đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất?

(Tính chính xác đến 1/100 giây).

Bài giải:

Ta có:

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi ta tìm được α ≈ 0,675.

a) Vật ở vị trí cân bằng khi d = 0, nghĩa là sin (6t - α) = 0

Vậy trong khoảng thời gian 1 giây đầu tiên có 2 lần vật ở vị trí cân bằng là t ≈ 0,11 giây (ứng với k = 0) và t ≈ 0,64 giây (ứng với k = 1).

b) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi |d| nhận giá trị lớn nhất. Điều đó xảy ra nếu sin (6t - α) = ±1. Ta có:

Vậy trong khoảng thời gian 1 giây đầu tiên có 2 lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất là t ≈ 0,37 giây (ứng với k = 0) và t ≈ 0,90 giây (ứng với k = 1).

Bài 32 (trang 42 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a) asinx + bcosx (a² + b² ≠, a và b là hằng số)

b) sin²x + sinxcosx + 3cos²x

c) Asin²x + Bsinxcosx + Ccos²x (A, B, C là hằng số)

Bài giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Bài 33 (trang 42 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + 3√ 3sinxcosx - cos²x = 4

b) 3sin²x + 4sin2x + (8√ 3 - 9)cos²x = 0

c) sin²x + sin2x - 2cos²x = 1/2

Bài giải:

a) cosx = 0 không thỏa mãn phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ≠ 0 ta được:

2tan²x + 3√ 3tanx - 1 = 4 (1 + tan²x)

⇔ 2tan²x + 3√ 3tanx + 5 = 0

Phương trình vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) cosx = 0 không thỏa mãn phương trình.

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ≠ 0 ta được:

c) cosx=0 không thỏa mãn phương trình.

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ≠ 0 ta được:

Bài 34 (trang 42 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng để giải các phương trình sau:

a) cosxcos5x = cos2xcos4x

b) cos5xsin4x = cos3xsin2x

c) sin2x + sin4x = sin6x

d) sinx + sin2x = cosx + cos2x

Bài giải:

a) cosxcos5x = cos2xcos4x

b) cos5xsin4x = cos3xsin2x

c) sin2x + sin4x = sin6x

d) sinx + sin2x = cosx + cos2x

Bài 35 (trang 42 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình:

a) sin²4x + sin²3x = sin²2x + sin²x

b) cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2

Bài giải:

a) sin²4x + sin²3x = sin²2x + sin²x

b) cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2

Bài 36 (trang 42 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giải các phương trình sau:

a) tan (x/2) = tanx

b) tan (2x + 10^o) + cotx = 0

c) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

d) tanx + tan2x = sin3xcosx

e) tanx + cot2x = 2cot4x

Bài giải:

a)

b)

tan (2x + 10^o) + cotx = 0 ⇔ tan (2x + 10^o) = tan (90^o + x)

⇔ 2x + 10^o = 90^o + x + k. 180^o ⇔ x = 80^o + k. 180^o

Hiển nhiên x = 80^o + k. 180^o thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 80^o + k. 180^o

c)

d)

e) ĐKXĐ: cosx ≠ 0, sin2x ≠ 0, sin4x ≠ 0 nhưng chỉ cần sin4x ≠ 0 là đủ vì sin4x = 2sin2xcos2x = 4sinxcosxcos2x. Với điều kiện đó ta có:

Để là nghiệm các giá trị này còn phải thỏa mãn sin4x ≠ 0. Ta có:

- Nếu k chia hết cho 3 tức là k = 3m, thì sin4x = sin4mπ = 0

- Nếu k không chia hết cho 3, tức là k = 3m + 1, m ∈ Z thì: