Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Giải BT Toán 11 nâng cao

a) Giả sử HM, HN lần lượt là hình chiếu của SM, SN.

- NẾU SM = SN thì Δ SHM = Δ SHN nên HM = HN

Ngược lại nếu HM = HN thì

Δ SHM = Δ SHN nên SM = SN

Vậy SM = SN ⇔ HM = HN

b) Áp dụng định lí pytago ta có:

SM² - HM² = SN² - HN² (= SH²)

SM² - SN² = HM² - HN². Từ đó suy ra SM > SN ⇔ HM > HN (đpcm)

Bài 15 (trang 102 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện

Bài giải:

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của Δ BCD. Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp (BCD).

Theo kết quả bài 14. M Є d ⇔ MB = MC = MD (d là trục của đường tròn ngoại tiếp (BCD))

Gọi O là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của AB thì O cách đều bốn đỉnh của tứ diện (O gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)

Bài 16 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một góc vuông và AB = a, BC = b, CD = c.

a) Tính độ dài AD

b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D

Bài giải:

a) Ta có CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)

Mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC

Trong tam giác vuông ABC ta có:

AC² = AB² +BC² = a² + b²

trong tam giác vuông ACD ta có:

AD² = AD² +CD² = a² + b² + c² => AD=√ (a² +b² +c²)

b) Ta có AB ⊥ BC và AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD. Gọi I là trung điểm AD ta có IC = IA = ID = IB. Vây I cách đều A, B, C, D.

Bài 17 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một góc vuông

a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b) Chứng minh hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC

Bài giải:

(OBA) nên OA ⊥ BC. Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức là H thuộc 1 đường cao của tam giác ABC. Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

c) Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’. Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên:

Bài 18 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ mp (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) AH, SK, BC đồng quy

b) SC ⊥ mp (BHK);

c) HK ⊥ mp (SBC)

Bài giải:

a) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AH và BC

Ta có BC ⊥ AH (do h là trực tâm Δ ABC)

BC ⊥ SA (do SA ⊥ mp (ABC))

⇒ BC ⊥ (SAI) mà SI ⊂ (SAI) nên: BC ⊥ SI

K là trực tâm Δ ABC nên SI qua K

Vậy AH, SK, BC đồng quy tại I

b) Ta có BH ⊥ AC và BH ⊥ SA nên:

BH ⊥ mp (SAC) suy ra BH ⊥ SCH

Mặt khác SC ⊥ BK nên SC ⊥ mặt phẳng (BHK)

c) Ta có SC ⊥ HK (do HK ⊥ mặt phẳng (BHK))

Mà HK ⊥ BC (do BC ⊥ mặt phẳng (SAI))

Vậy HK ⊥ (SBC)

Bài 19 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

a) Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG

b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại C_1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S. ABC khi cắt bới mặt phẳng (P)

Bài giải:

a) Vì SA= SB = SC nên S nằm trên trục của đường thẳng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà G là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC nên SG ⊥ (ABC). Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI ⊥ BC và BC ⊥ SI

Bài 20 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao):

a) Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.

b) Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương.

i) ABCD là tứ diện trực tâm.

ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.

iii) chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy taị 1 điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.

Bài giải:

c) Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K nằm trên AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH và BK cắt nhau do chúng cùng thuộc mp (ABI)

Tương tự bốn đường cao của tứ diện tâm cắt nhau đôi một và không cùng nằm trên một mặt phẳng nên chúng đồng quy.