Bài 2: Dãy số - Giải BT Toán 11 nâng cao

Bài 10 (trang 105 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau:

a) Dãy số (u_n)xác định bởi:

b) Dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 2; u₂ = -2 và u_n = u_{n -1} - 2u_{n - 2} với mọi x ≥ 3.

b) Ta có:

u₃ = u₂ - 2u₁ = -2 - 2 = 4

u₄ = u₃ - 2u₂ = -4 - 2 (-2) = 0

u₅ = u₄ - 2u₃ = 0

Bài 11 (trang 106 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …. , A_nB_nC_nD_n, ….. theo các cách sau: với mỗi n=2,3,4, … lấy các điểm A_n, B_n, C_n và D_n tương ứng trên các cạnh A_{n - 1}B_{n - 1}, B_{n - 1}C_{n - 1}, C_{n - 1}D_{n - 1} và D_{n - 1}A_{n - 1} sao cho A_{n - 1}A_n = 1 cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông. Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài của hình vuông A_nB_nC_nD_n. Hãy cho dẫy số (u_n) nói trên bởi một hệ thức truy hồi.

Bài 12 (trang 106 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 1 và u_n = 2u_{n - 1} + 3 với mọi n ≥ 2. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có: u_n = 2^{n + 1} - 3 (1)

Với n = 1 ta có u₁ = 1 = 2² - 3. Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n-k tức là ta có: u_kn = 2^{k + 1} - 3

Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:

u_{k + 1} = 2^{k + 2} - 3

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có:

u_{k + 1} = 2u_k + 3 = 2 (2^{k + 1} - 3) + 3 = 2^{k + 2} - 3

Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Bài 13 (trang 106 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

Bài 14 (trang 106 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng dãy số (u_n) với u_n = (2n + 3)/ (3n + 2) là một dãy số giảm và bị chặn.