Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Giải BT Toán 11 nâng cao
Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1 (trang 49 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
a) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước.
b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
c) Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc 1 mặt phẳng duy nhất.
Bài giải:a) Mệnh đề Sai
Giải thích: Vì có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng cho trước.
b) Mệnh đề Đúng
c) Mệnh đề Đúng.
Bài 2 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Em hãy giải thích tại sao các đồ vật có bốn chân như bàn, ghế … thường dễ bị cập kênh
Bài giải:Các đồ vật có 4 chân như bàn, ghế,... thường dễ cập kênh vì 4 chân của vật cùng nằm trên 1 mặt phẳng, vật không cập kênh (gập ghềnh) nhưng mặt đất thường không phẳng, do đó bàn hoặc ghế thường hay cập kênh.
Bài 3 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Với 1 cái thước thẳng, làm thế nào để phát hiện 1 mặt bàn có phẳng hay không? Nói rõ căn cứ vào đâu mà ta làm như vậy.
Bài giải:Đặt thước trên bàn, đẩy thước di động. Nếu mặt bàn phẳng thì cạnh thước lúc nào cũng sát với mặt bàn, nếu mặt bàn không thật phẳng thì cạnh thước có lúc không sát với mặt bàn và ta trông thấy có khe hở giữa cạnh thước và mặt bàn
Căn cứ vào định lí: “Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của 1 mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó”.
Bài 4 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau, giao tuyến Δ trên (P) cho đường thẳng a và trên (Q) cho đường thằng b. Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm mặt phẳng phải nằm trên Δ
Bài giải:
Ta có (P) ∩ (Q) = Δ
Giả sử I = a ∩ b
Ta có I Є a mà a ⊂ (P) nên I Є (P)
I Є b mà b ⊂ (Q) nên I Є (Q)
Bài 5 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.
Bài giải:Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AB, AC, BC với mp (P). A, B, C không thẳng hàng nên có mp (ABC)
Rõ ràng I, J, K Є mp (ABC) và I, J, K Є mp (P) nên I, J, k nằm trên giao tuyến của hai mp (P) và (ABC).
Vậy I, J, K thẳng hàng.
Bài 6 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
a) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước.
b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó.
c) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
Bài giải:a), b) Mệnh đề sai vì có vô số mặt phẳng đi qua 1 điểm và một đường thẳng chứa điểm đó.
c) Mệnh đề đúng
Bài 7 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Hãy tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
a) Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cho trước.
b) Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đườngthẳng cắt nhau cho trước.
c) Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng đó lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau.
Bài giải:a) Mệnh đề sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai đường thẳng trùng nhau.
b) Mệnh đề đúng.
c) Mệnh đề sai vì không có mặt phẳng nào đi qua 2 đường thẳng chéo nhau.
Bài 8 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Một đường thẳng c cắt cả a và b. Có thể kết luận rằng 3 đường thẳng a, b, c cùng nằm trên một mặt phẳng hay không?
Bài giải:
Không thể kết luận rằng 3 đường thẳng a, b, c cùng nằm trên một mặt phẳng vì: nếu a và b cắt nhau tại I thì đường thẳng c qua I cắt cả a và b nhưng nó có thể không thuộc mp (a, b)
Bài 9 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy.
Bài giải:Gọi I = a ∩ b; J = a ∩ c, K = b ∩ c. Nếu các điểm I, J, k phân biệt từng cặp thì a, b, c cùng thuộc mặt phẳng (IJK), trái giả thiết. Vậy I, J, K trùng nhau do đó a, b, c đồng quy
Bài 10 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O và đường thẳng c cắt mp (a, b) ở điểm I khác O. Gọi M là điểm di động trên c và khác I. Chứng minh rằng giao tuyến của các mp (M, a), (M, b) nằm trên một mặt phẳng cố định
Bài giải:Ta có M Є (M, a) ∩ (M, b)
Vì O = a ∩ b nên O Є (M, a) ∩ (M, b)
⇔ (M, a) ∩ (M, b) = MO
Vì M Є c nên MO ⊂ mp (O, c)
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a), (M, b) nằm trên mp (O, c) cố định
Bài 11 (trang 50 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp (P) và một điểm S nằm ngoài mp (P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; Giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mp (CMN) với đường thẳng SO
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN)
Bài giải:a) Tìm SO ∩ (CMN)
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của so với CM:
I = SO ∩ CM
Mà CM ⊂ (CMN) nên I = SO ∩ (CMN)
b) Tìm (SAD) ∩ (CMN)
Trong mp (SBD) gọi K là giao điểm của NI và SD. K = NI ∩ SD
Ta có M, K Є (CMN) và M, K Є (SAD)
Do đó (SAD) ∩ (CMN)= MK
Bài 12 (trang 51 sgk Hình học 11 nâng cao): Vẽ một số hình biễu diễn của một hình chóp tứ giác trong các trường hợp đáy là tứ giác lồi, đáy là hình bình hành, đáy là hình thang.
Bài giải:- Nếu đáy của hình chóp là tứ giác lồi tùy ý, ta có hình thường dùng là hình a) hoặc hình b).
- Nếu đáy của hình chóp tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông, ta có hình biểu diễn thường dùng của hình chóp là hình c).
- Nếu đáy của hình chóp từ giác là hình thang ABCD (AB//CD) thì ta có hình biễu diễn thường dùng là hình d) hoặc hình e).
Bài 13 (trang 51 sgk Hình học 11 nâng cao): Thiết diện của một hình tứ diên có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác hay không?
Bài giải:Thiết diện của một hình tứ diện là một tam giác khi mặt phẳng cắt ba mặt của tứ diện. Thiết diện là một tứ giác khi mặt phẳng cắt bốn mặt của hình tứ diện. Thiết diện của một hình tứ diện không thể là một ngũ giác vì ngũ giác có năm cạnh mà tứ diện có bốn mặt.
Bài 14 (trang 51 sgk Hình học 11 nâng cao): Dùng bia cứng cắt và dán lại để thành:
a) Một tứ diện đều
b) Một hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông và các mặt bên là những tam giác
Bài giải:Cắt theo mẫu sau:
Bài 15 (trang 51 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S. ABCD. Ba điểm A’B’C’ lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng vơi S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (A’B’C’).
Bài giải:Gọi O = AC ∩ BD; O’ = A’C’ ∩ SO
D’ = B’O’ ∩ SB
- Nếu D thuộc đoạn thẳng SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
- Nếu D’ nằm trên phần kéo dài của cạnh SD, ta gọi E là giao điểm của CD và C’D’, F là giao điểm của AD và A’D’.
Khi ấy thiết diện là ngũ giác A’B’C’EF
Bài 16 (trang 51 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mp (SBM) và (SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp (SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM).
Bài giải:a) Tìm (SBM) ∩ (SAC)
Trong đó Δ SAD gọi N = SM ∩ CD
Trong mp (ABCD) gọi O = BN ∩ AC
Ta có: SO = (SBM) ∩ (SAC)
b) Tìm BM ∩ (SAC)
- Chọn mặt phẳng phụ chưa BM là (SBN)
- (SBN) ∩ (SAC) = SO
- Gọi I = SO ∩ BM thì I = BM ∩ (SAC)
c) Trong mp (SAC) gọi P = AI ∩ SC
Trong mp (SCD) PM cắt tại Q. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM) là tứ giác ABPQ