Ôn tập chương 2 - Giải BT Toán 12 nâng cao
Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 1 (trang 62 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
a) Mặt cầu, khối cầu đều có vô số mặt phẳng đối xứng.
b) Mọi tứ diện luôn có cạnh bên bằng nhau đều có mặt cầu ngoại tiếp.
c) Mọi hình chóp có cạnh bên bằng nhau đều có mặt cầu ngoại tiếp.
d) Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp.
e) Mặt nón, hính nón, khối nón đều có vô số mặt đối xứng.
f) Mặt trụ, hình trụ, khối trụ đều có duy nhất một mặt phẳng đối xứng.
Bài giải:Câu đúng là: a, b, e.
a) Đúng: Mỗi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu, khối cầu đều là một mặt phẳng đối xứng của mặt cầu, khối cầu đó.
b) Đúng: Xét tứ diện ABCD, gọi trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là ∆ và mặt phẳng trung trực của đoạn AC là (α) thì I = ∆∩ (α) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c) Sai: Mọi hình chóp có cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn. Khi đó, hình chóp sẽ có mặt cầu ngoại tiếp.
Tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh nên của hình chóp.
d) Sai: Chẳng hạn hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi ABCD với góc BAD = 60o trong trường hợp này nếu có mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn – vô lí.
e) Đúng: Mỗi mp đi qua trục của mặt nón đều là một mặt phẳng đối xứng của mặt nón, hình nón, khối nón tương ứng.
f) Sai: Mặt trụ, hình trụ, hình trụ có vô số mặt phẳng đối xứng, Đó là các mặt phẳng chứa trục của hình trụ.
Bài 2 (trang 62): Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
a) Mọi đường thẳng đều có chung với mặt trụ (hoặc mặt nón) nhiều nhất là hai điểm.
b) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng.
c) Mọi đường tròn lớn của mặt cầu đều đi qua hai điểm cố định.
d) Hai đường tròn phân biệt cùng nằm trên một mặt nón có bán kính khác nhau.
Bài giải:Câu đúng là b, d
a) Sai. Đường sinh nằm trọn trong mặt trụ (mặt nón).
b) Đúng. Mặt trụ, mặt nón đều chứa đường sinh của chúng.
c) Sai. Giả sử có hai điểm cố định A và B thuộc mặt cầu S (O, R). xét mặt phẳng trung trực của AB, mặt phẳng này chứa một đường tròn lớn của S (O, R) mà đường tròn này không đi qua A và B.
d) Đúng. Vì đó là hai đường tròn đáy của một hình trụ.
e) Sai/ vì hai đường tròn như thế mà nằm trên hai mặt phẳng các đều đỉnh của hính nón sẽ có bán kính bằng nhau.
Bài 1 (trang 63 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho mp (P) và điểm A không thuộc mặt phẳng (P). chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
Bài giải:Giả sử S là mặt cầu đi qua A và có tâm O ∈ (P). (hình vẽ bên). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P) thì OA’ = OA nên mặt cầu S cũng đi qua A’.
Vậy các mặt cầu S đi qua hai điểm cố định A và A’.
Bài 2 (trang 63): Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC, biết
Bài giải:
+ Do tam giác ASB cân tại S và
+ Tam giác BSC vuông tại S nên BC = a √2
+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác ASC ta có:
AC2 = SA2 + SC2 – 2SA. SC. cosA = 3a2 nên AC = a √3
Vậy ∆ABC vuông tại B.
* Gọi SH là đường cao của hình chóp thì do SA = SB = SC nên HA = HB = HC.
Mà tam giác ABC là vuông tại B do đó H là trung điểm của AC.
Gọi O là điểm đối xứng với điểm S qua điểm H.
Ta có:
Suy ra; OS= a.
Khi đó OS = OA = OC = OB = a. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm O và bán kính R = a.
Bài 3 (trang 63): Cho hai đường tròn (O, r) và (O’, r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’).
a) Cmr có mặt cầu (S) đi qua đường tròn đó
b) Tính bán kính của R của mặt cầu (S) khi r = 5, r’ = √ 10, AB = 6, OO’ = √ 21
Bài giải:a) Gọi M là trung điểm của AB thì OM ⊥ AB, O' M⊥ AB. Do (P) và (P’) phân biệt nên ba điểm O, M, O’ không thẳng hàng.
Từ đó AB ⊥ mặt phẳng (OMO’).
Gọi Δ và Δ ' lần lượt là trục của đường tròn (O, r) và (O’, r’) thì Δ và Δ ' cùng vuông góc với AB.
Từ đó suy ra Δ và Δ ' cùng nằm trong mặt phẳng (OMO’). Δ và Δ ' cắt nhau tại điểm I. Khi đấy mặt cầu (C) có tâm I và bán kính R = IB là mặt cầu cần tìm.
b)Ta có:
Tương tự: O’M = 1
Xét Δ OMO' ta có:
Như vậy R2 = IB2 + IO2 = 25 + 12 = 37 tức R = √ 37
Vậy R = √ 37
Bài 4 (trang 63): Cho một hình nón H sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao.
a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nó H thì có bán kính bằng bao nhiêu?
b) Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón H thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Bài giải:Theo gt hình nón H có bán kính đáy r = a/2, có chiều cao h = a√ 3/2 (bằng chiều cao của tam gíac đều đã cho) và có đường sinh l = a. Vậy nó có diện tích toàn phần là S1 và V thể tích:
a) Nếu mặt cầu có bán kính R thì có diện tích là S2 = 4 π R2
Theo bài ra, ta có:
b) Nếu mặt cầu bán kính R thì có thể tích V của hình nón thì
Bài 5 (trang 63): Cho tam giác vuông ABC vuông tạo A, AB = c, AC = b, gọi V1, V2, V3 là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.
a) Khi quay tam giác ABC quanh AB ta được khối nón có đường cao c và bán kính đáy b, nên nó có thể tích:
Khi quay tam giác ABC quanh AC ta được khối nón có đường cao bvà bán kính đáy c, nên nó có thể tích:
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Khi quay tam giác ABC quanh BC (hình vẽ) ta được khối tròn xoay hợp thành của hai khối nón sinh ra bởi tam giác ABH và ACH khi quay quanh BC.
Vì vậy:
b) Ta có:
Bài 6 (trang 63): Một hình thang cân ABCD có dạng đáy AB = 2a, DC = 4a. Cạnh bên AD = BC =3a. Cho hình thang đó (kể cả điểm trong) quay quanh trục đối xứng của nó. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay được tạo thành.
Bài giải:Gọi S là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC của hình thang (hình vẽ bên). Đường cao SO của tam giác cân SCD là trục đối xứng của hình thang dó đó SO cắt AB tại trung điểm O’ của AB.
Khi quay quanh SO, tam giác SCD sinh khối nón H1 có thể tích V1 và tam giác SAB sinh ra khối nón H2 có thể tích V2 còn hình thang ABCD sinh ra một khối tròn xoay H có thể tích: V = V1-V2
Gọi S1,S2 lần lượt là diện tích xung quanh của khối nón H1,H2 thì diện tích xung quanh của khối tròn xoay H là Sxq = S1 - S2 = π. OC. SC - PI O' B. SB = 9 π a2
=> Diện tích toàn phần STP = 9 π a2 + π a2 + 4 π a2 = 14 π a2
Bài 1 (trang 63 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp
C. Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Mọi hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp.
Bài giải:Vì hình hộp chữ nhật có hai đáy nội tiếp đường tròn nên có mặt cầu ngoại tiếp.
=> Đáp án đúng là: D
Bài 2 (trang 64): Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì:
A. Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.
B. Hình lập Phương có thể tích lớn nhất.
C. Hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng sai khác 0 có thể tích lớn nhất.
D. Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân cộng bội khác 1 có thể tích lớn nhất.
Bài giải:Gọi các cạnh của hình hộp chữ nhật là a, b, c
Khi đó V = abc lớn nhát khi và chỉ khí a = b = c.
Vậy hình đó là hình lập phương.
=> Đáp án đúng là: B
Bài 3 (trang 64): Một hình cầu có thể tích 4π /3 ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập Phương?
Bài giải:
Suy ra thể tích lập phương là:
=> Đáp án đúng là: A
Bài 4 (trang 64): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chóp có đáy là tứ giác bất kì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình bình hành có mặt cầu ngoại cầu.
D. Hình chóp có đáy là hình thang có mặt cầu ngoại tiếp.
Bài giải:Hình chóp đáy là hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp. vì đáy có đường tròn ngoại tiếp nên các điểm nằm trên trục đường tròn đều cách các đỉnh ở đáy. Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt trục đường tròn tại O thì O là tâm mặt cầu.
=> Đáp án đúng là: D
Bài 5 (trang 64): Cho tứ diện đều ABCD có dạng bằng a. tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 là:
a) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng a√ 2/2;
b) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng a√ 2/4
c) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng a√ 2/2
d) Đường tròn với tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng a√ 2/4
Bài giải:Gọi G là trọng tâm của khối tứ diện ABCD
tương tự MB2, MC2, MD2
=> MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + MD2 = 4MG2 + 3a2/2 = 2a2
=> MG2 = a2/8
=> M thuộc mặt cầu tâm G, bán kính R = MG = a√ 2/4.
=> Đáp án đúng là: B
Bài 6 (trang 65): Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng a là:
Bài giải:
Do tứ diện ABCD là tứ diện đều nên tâm mặt cầu tiếp xúc các cạnh trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp nên R = a√ 2/2.
=> Đáp án đúng là: A
Bài 7 (trang 65): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.
B. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.
C. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.
Bài giải:=> Đáp án đúng là:
Bài 8 (trang 65): Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là:
A. Hai đường thẳng song song
B. mặt cầu
C. Mặt trụ tròn xoay
D. mặt nón xoay.
Bài giải:Gọi khoảng cách từ M đến AB là d (M, AB)
Ta có diện tích tam giác MAB là
=> M thuộc mặt trụ T trục AB bán kính R = 2S/AB.
=> Đáp án đúng là: C
Bài 9 (trang 65): Cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng AB/2. Gọi H là hình chiếu của B trên l. Tập hợp điểm H trong không gian là:
A. mặt phẳng
B. mặt trụ xoay
C. mặt nón
D. đường tròn.
Bài giải:Đặt góc BAH=α
Ta có BH = d
Vậy tập hợp H thuộc l là mặt nón H trục AB, đỉnh A, góc ở đỉnh 60o.
=> Đáp án đúng là: C
Bài 10 (trang 65): Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trước, xét đường thẳng l thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 30o. Tập hợp các đường thẳng l trong không gian là:
A. mặt phẳng
B. hai đường thẳng
C. mặt trụ
D. mặt nón
Bài giải:Mặt nón
Qua O kẻ đường thẳng Δ ⊥ mặt phẳng (P) thì góc giữa Δ và l β=90o-30o=〖60o
Vậy đường thẳng l luôn tạo với Δ một góc không đổi và đi qua điểm O cố định trên tg nên l thuộc mặt nón H trục Δ đỉnh O và góc ở đỉnh bằng = 120o.
=> Đáp án đúng là: D
Bài 11 (trang 66): Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, đường cao OO’ = a √3. Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng. Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 30o, A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ, tập hợp trung điểm I của AB là:
A. mặt trụ
B. mặt cầu
C. đường tròn có tâm là trung điểm của đường cao hình trụ bán kính a√ 3/2 trong mặt phẳng trung trực của OO’.
D. mặt phẳng
Bài giải:Gọi giao điểm của AB với OO’ là H. Do góc giữa AB và OO’ bằng 〖30〗^0. Nên AB thay đổi thì I chạy trên đường tròn tâm K là trung điểm OO’ bán kính R=a√ 3/2 trong mặt phẳng trung trực OO’.
=> Đáp án đúng là: C
Bài 12 (trang 66): Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho góc AMB = 90o. Khi ấy, điểm M luôn thuộc:
A. đường tròn
B. mặt trụ
C. mặt nón
D. mặt cầu
Bài giải:Gọi Oz là tia phân giác của góc xOy, I là trung điểm AB và
Suy ra Δ MOI=Δ BOI.
Vậy M thuộc mặt nón H trục H trục Oz, đỉnh O góc đỉnh α.
=> Đáp án đúng là: C
Bài 13 (trang 66): Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh a. diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường chéo AC’ khi quay quanh trục AA’ bằng.
A. π a2√ 6Bài giải:
AC’ là đường sinh và AC’ = a√ 3, bán kính đáy A’C’ = a√ 2
Diện tích xung quanh Szq = π Rl = π a√ 2. a√ 3 = π a2√ 6.
=> Đáp án đúng là: A
Bài 14 (trang 66): Cho hình nón bán kính đáy bằng a, một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hơp trung điểm I của dây cung là:
A. Mặt nón cố định
B. Mặt phẳng cố định
C. Mặt trụ cố định
D. Đường tròn cố định.
Bài giải:Gọi dây cung AB = a, I là trung điểm của AB. Do dây cung có độ dài bằng a. Không đổi nên nó chuyển động trên đường tròn đáy thì trung điểm I cũng chạy trên đường tròn có bán kính a√ 3/2.
=> Đáp án đúng là: D
Bài 15 (trang 66): Cho hình trụ có bán kính đáy R, đường cao OO’. Cắt hình trụ đó bằng mặt phẳng (α) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng cách h cho trước (h < R). Khi ấy, mp (α) có tính chất:
A. Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định.
B. Luôn cách mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoảng h,
C. Cắt hình trụ theo thiết diện hình vuông.
D. Cả ba tính chất trên đều sai.
Bài giải:Vì khoảng cách từ O đến (α) bằng h cố định và α ⊥ đáy nên (α) tiếp xúc với trụ trục OO’ bán kính h.
=> Đáp án đúng là: A
Bài 16 (trang 67): Một khối trụ bán kính đáy a√ 3, chiều cao 2a√ 3. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là:
Bài giải:
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
=> Đáp án đúng là: A
Bài 17 (trang 67): Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là:
Bài giải:
Do đường sinh bằng đường kính đáy nên bán kính mặt cầu: R = 2h/3, với h là đường cao tam giác đều có cạnh bằng 2.
=> Đáp án đúng là: D
Bài 18 (trang 67): Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón có bán kính là:
Bài giải:
Diện tích hình cầu
=> Đáp án đúng là: A
Bài 19 (trang 67): Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích của khối nón thì có bán kính bằng
Bài giải:
=> Đáp án đúng là: A
Bài 20 (trang 67): Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 90o. Cắt hình nón bằng mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy hình nón bằng 60o. Khi đó diện tích thiết diện là:
Bài giải:
=> Đáp án đúng là: A
Bài 21 (trang 67): Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60o. Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là:
Bài giải:
=> Đáp án đúng là: A
Bài 22 (trang 68): Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là:
Bài giải:
Bài 23 (trang 68): Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy hình trụ. Diện tích hình vuông đó là:
Bài giải:
=> Đáp án đúng là: A
Bài 24 (trang 68): Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ, ba kích thước của hình hộp chữ nhật a, b, c. Thể tích của khối trụ là?
Bài giải:
Nếu đường cao là c thì thể tích:
Nếu đường cao là b thì:
Nếu đường cao là a thì:
=> Đáp án đúng là: D
Bài 25 (trang 68): Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp khối nón. Thể tích khối nón là:
Bài giải:
Khối nón có đường cao h bằng đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh đến một đối diện h = a √6/3
Bán kính đáy bằng 2/3 đường cao tam giác đều,
=> Đáp án đúng là: B
Bài 26 (trang 68): Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 120o. Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Gọi a là diện tích của tam giác SAM. Có bao nhiêu vị trí của M để s đạt giá trị lớn nhất?
A. có 1 vị trí
B. có 2 vị trí
C. có 3 vị trị
D. có vô số vị trí
Bài giải:Gọi A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn đáy
Vậy diện tích nhỏ nhất khi SA ⊥ SM => M nằm trên 2 nửa đường tròn (O) sao cho SA ⊥ SM. Và có 2 điểm M như vậy.
=> Đáp án đúng là: B