Luyện tập (trang 44-45) - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 45 (trang 44 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=x3-3x2+1
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của Phương trình x3-3x2+m+2=0
Bài giải:a) TXĐ: D=R
Ta có: y'=3x2-6x=3x (x-2)=0
y'> 0 trên khoảng (-∞; 0) ∪ (2; +∞)
y' < 0 trên khoảng (0; 2)
yCT = y (2) = -3; yCĐ = y (0) = 1
y'' = 6x-6 = 6 (x-1) = 0
< => x = 1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1)
Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)
Hàm số có 1 điêm uốn u (1; -1)
Bảng biến thiên.
• Đồ thị
Giao với Oy (0; 1)
b) x3-3x2+m+2=0 ⇔ x3-3x2+1=-1-m (2)
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị y=x3-3x2+1 với đường thẳng y = -1 – m.
Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:
- Nếu -1-m > 1< => m < -2, phương trình (2) có 1 nghiệm.
- Nếu -1-m=1 < => m = -2, phương trình (2) có 2 nghiệm.
- Nếu -3 < -1-m < 1 < => -2 < m < 2, phương trình (2) có 3 nghiệm
- Nếu -1-m < -3 < => m > 2: Phương trình (2) có 1 nghiệm
Kết luận:
-2 < m < 2. Phương trình (2) có 3 nghiệm
Bài 46 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Cho hàm số y = (x+1)(x2+2mx+m+2)
a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = -1
Bài giải:a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (Cm) với trục hoành là nghiệm của phương trình:
Đặt f (x) = x2+2mx+m+2
Để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 khác -1.
Vậy với m thỏa mãn (*) thì đồ thị hàm số Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Với m = -1. Ta có: y= (x+1)(x2-2x+1)=x3-x2-x+1
TXĐ: D=R
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1/3)
Hàm số lõm trên khoảng (1/3; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn (1/3; 16/27)
Bảng biến thiên
• Đồ thị
Giao với Ox tại 2 điểm có tọa độ (-1; 0); (1; 0); giao với Oy tại điểm (0; 1) đi qua (2; 3)
Bài 47 (trang 45 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Cho hàm số y=x4- (m+1) x2+m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Bài giải:a) Với m = 2 ta có: y=x4-3x2+2
TXĐ: D=R
Ta có, y'=4x3-6x=0
< => 4x (2x3-3)=0
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên
Đồ thị đi qua các điểm có tọa độ như sau: (1; 0); (-1; 0) (-√ 2; 0), (√ 2; 0), (0; 2)
b) Giả sử điểm M (x0;y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn di qua với mọi m.
Ta có:
Vậy hàm số đã cho luôn đi qua 2 điểm cố định: M1 (-1; 0); M2 (1; 0)
Bài 48 (trang 45 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho hàm số y=x4-2mx2+2m
a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có 3 cực trị.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m=1/2. Viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm uốn.
Bài giải:a) Ta có: y'=4x3-4mx=4x (x2-m)
Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
b) Với m = 1/2 ta có y = x4-x2+1
TXĐ: D = R
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên
Đồ thị đi qua (0; 1)
* y=x4-x2+1
Hàm số có 2 điểm uốn là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Vậy 2 phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là:
