Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 6 (trang 15 sgk Hình Học 12 nâng cao): Gọi Đ là phép đối xứng qua mp (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả sử Đ biến a thành đường thẳng a’. Trường hợp nào thì:
a) a trùng a’
b) a song song với a’
c) a cắt a’
d) a và a’ chéo nhau
Bài giải:
a)
+ Nếu a ⊂ (P), khi đó, lấy điểm A bất kì trên a thì A∈ (P) nên Đ biến A thành A'≡ A. Vậy Đ biến a thành a’ ≡ a.
+ Nếu a ⊥ (P). Lấy A bất kì trên a, nếu Đ biến A thành A’ thì AA’ ⊥ (P) mà a ⊥ (P), (A) ∈ a ⇒ A' ∈ a ⇒ a' ≡ a.
Vậy nếu đường thẳng a nằm trong mp (P) hoặc đường thẳng a ⊥ với mp (P) thì qua Đ biến đường thẳng a thành a’ ≡ a.
b)
+ Nếu a // (P), lấy 2 điểm A, B phân biệt trên a. Giả sử Đ biến A thành A’, B thành B’. Ta thấy tứ giác ABB’A’ là hình chữ nhật nếu A’B’ // AB hay a’ // a.
Vậy để a // a’ thì a// (P).
c)
+ a cắt (P) tại I nhưng không vuông góc với (P). Khi đó, Đ biến I thành chính nó (vì I ∈ (P) và biến A ∈a (với A không trùng I) thành A’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của AA’. Vậy Đ biến AI thành A’I.
Do a không vuông góc với (P) nên dễ thấy A, I, A’ không thẳng hàng hay AI, A’I cắt nhau tại I tức a, a’ cắt nhau.
Vậy, a cắt a’ nếu a cắt (P) nhưng a không vuông góc với (P).
d) a, a’ chéo nhau không xảy ra.
Bài 7 (trang 15): Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây:
a) Hình chóp tứ giác đều.
b) Hình chóp cụt tam giác đều.
c) Hình hộp chữ mà không có mặt nào là hình vuông.
Bài giải:
a) Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD
- Dễ thấy (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD nên phép đối xứng qua (SAC) biến các đỉnh S, A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh S, A, D, C, B hay biến hình chóp S. ABCD thành chính nó. Vậy (SAC) là một mặt phẳng đối xứng của hình chóp S. ABCD.
Tương tự (SBD) cũng là một mp đối xứng của hình chóp S. ABCD.
- Lại có, mặt phẳng trung trực của cạnh AB đồng thời là mặt phẳng trung trực của cạnh CD và chứa S nên đó là một mặt đối xứng của hình chóp S. ABCD. Tương tự mặt phẳng trung trực của AD cũng là một mặt phẳng đối xứng của hình chóp S. ABCD.
- Kết luận: Hình chóp tứ giác đều S. ABCD có 4 mặt phẳng đối xứng là (SAC), (SBD), mặt phẳng trung trực của cạnh AD và AD.
b) Xét hình chóp cụt tam giác đều ABC. A’B’C’
Gọi S là điểm đồng quy của AA’, BB’, CC’, M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Ta có (SAM) là mặt phẳng trung trực của BC, cũng là mặt phẳng trung trực của B’C’.
Mặt khác, A’ ∈ SA => A’ ∈ mp (SAM). Vậy phép đối xứng qua mặt phẳng (SAM) biến các đỉnh A, B, C, A’, B’, C’ lần lượt thành A, C; B, A’, C’, B’. Do đó, biến hình chóp cụt tam giác đều ABC. A’B’C’ thành chính nó hay (SAM) là một mp đối xứng là (SAM), (SBN), (SCP).
Tương tự các mặt phẳng là (SBN), (SCP) cũng là mặt phẳng đối xứng.
c) Xét hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ mà không có mặt nào là hình vuông.
- Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì (P) cũng là mặt phẳng trung trực của các cạnh CD, D’C’, A’B’ nếu cho phép đối xứng qua (P) biến A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ lần lượt thành B, A, D, C, B’, A’, D’, C’ hay phép đối xứng qua (P) biến hình hộp của hình chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ thành chính nó. Vậy (P) là một mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật.
Tương tự, mặt phẳng trung trực của các cạnh AA’, AD cũng là các mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’.
Kết luận: Hình hộp chữ nhật mà không có mặt phẳng nào vuông góc có 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của 3 cạnh cùng xuất phát tại một đỉnh.
Bài 8 (trang 15): Cho hình hộp lập phương ABCD. A’B’C’D’. Cmr:
a) Cho các hình chóp A. A’B’C’D’ và hình chóp C’. ABCD bằng nhau.
b) Hình lăng trụ ABC. A’B’C’ và AA’D’. BB’C’ bằng nhau.
Bài giải:
a) Cách 1: Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương nên phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của AA’ biến hình chóp A. A’B’C’D’ thành hình chóp A’. ABCD và phép đối xứng qua (BB’DD’) biến hình chóp A’. ABCD thành hình chóp C’. ABCD. Do đó, A. A’B’C’D’ và C’. ABCD bằng nhau (vì phép đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình)
Cách 2: Cho điểm O cố định. Phép biến hình biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M’ sao cho: 
gọi là phép đối xứng tâm O. Dễ chứng minh được phép đối xứng tâm là một phép dời hình.
Gọi O là trung điểm của AC’ thì O cũng là trung điểm của các đường chép BD’, A’C, B’D nên phép đối xứng tâm O biến A, A’, B’, C’, D’ lần lượt thành C’, C, D, A, B. Vậy các hình chóp A. A’B’C’D’ và C’. ABCD bằng nhau (do phép đối xứng tâm là phép dời hình).
b) Xét phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC’B’)
Ta có:
A -> A'; B -> A, C -> D, A' -> B, B' -> B; C' -> C'
=> lăng trụ ABC. A’B’C’ -> lăng trụ AA’D’. BB’C’
Vì vậy hai lăng trụ ABC. A’B’C’ và AA’D’. BB’C’ bằng nhau.
Bài 9 (trang 15): Cmr các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.
Bài giải:
• Phép tịnh tiến là phép dời hình.
Nếu phép tính tiến v→ biến hai điểm M, N lần lượt thành M’, N’ thì 
Suy ra M’N’ = MN hay phép tịnh tiến là một phép dời hình.
• Phép đối xứng trục là phép dời hình.
Cách 1. Gọi Đd là phép đối xứng qua đường thẳng d
Giả sử I là trung điểm MN’, J là trung điểm của NM’
Suy ra I, J ∈ d
Ta có:
Từ (1), (2), (3) suy ra MN2 = MN'2 => MN = M'N'.
=> Vậy phép đối xứng trục là phép dời hình.
Cách 2. Giả sử phép đối xứng qua đường thẳng d biến M thành M’, N thành N’.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa NM’ và (P) // MM’.
M1, M1' lần lượt là hình chiếu của M, M’ trên (P); O = ∩ (P). Ta có d ⊥ (P) nên O đồng thời là trung điểm của M1 M1' và NN'. Vậy phép đối xứng tâm O biến M1 thành M1', N thành N’ nên M1 M1' nên M1 N = M1'N'.
Mặt khác M1 N, M1'N' lần lượt là hình chiếu của MN, M’N’ trên (P), MM’ // (P) nên MN = M’N’.
Vậy phép đối xứng qua đường thẳng là phép dời hình.
• Phép đối xứng tâm là phép dời hình.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hai điểm M, N lần lượt thành M’, N’ thì
Vậy phép đối xứng tâm là phép dời hình.
Bài 10 (trang 15): Cmr:
a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép hợp tịnh tiến.
b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.
Bài giải:
a) Lấy điểm M bất kì trong không gian
Giả sử phép đối xứng qua (P) biến M thành M1 và phép đối xứng qua (Q) biến M1 thành M’.
Gọi I, J là trung điểm của MM1, M1 M' (suy ra I ∈ (P), J ∈ (Q), IJ ⊥ (P))
Ta có:
Lưu ý: IJ→ có phương vuông góc với (P) độ dài bằng khoảng cách giữa (P) và (Q)) hường từ (P) đến (Q)).
Nếu đặt 2IJ→= v→ thìv→ có phương, hướng và độ dài không đổi. Khi đó phép tịnh tiến theo X→ biến M thành M’. Vậy hợp thành 2 phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song là một phép tịnh tiến.
c) Gọi d = (P) ∩ (Q). M là một điểm bất kì. Giả sử phép đối xứng qua (P) biến M thành M’ và phép đối xứng qua (Q) biến M’ thành M’’.
I ∈ (P) và I ∈ (Q)
I ∈ d mà d ⊥ MM’’ (do d < => (Q). Vậy d là đường trung trực của MM’’.
Trường hợp M ∈ (Q) nhưng M ∈ d tương tự.
Trường hợp 3. Nếu M ∈ (P) và M ∈ (Q) thì M, M’, M’’ phân biệt. Vì I = (P)∩ (Q) mà (P), (Q) lần lượt là mặt phẳng trung trực của MM’, M’M’’ nên d ⊥ (MM’M’’) => d ⊥ MM'' (*).
Mặt khác, gọi I là trung điểm của MM’’, do Δ MM’M’’ vuông tại M’ nên IM = IM’ = IM’’ => I đồng thời thuộc mặt phẳng trung trực của MM’ và M’M’’ hay I ∈ (P) và I ∈ (Q) => I ∈d (**)
Từ (*), (**) ta có d là đường trung trực của đoạn MM’’ (3)
Kết luận: Từ (1), (2), (3) ta thấy: nếu thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) thì mỗi điểm M ∈ d (với d ∈ (P)∩ (Q) biến thành chính nó, mỗi điểm M ∈d biến thành M’’ sao cho d là trung trực của MM’’. Đó chính là phép đối xứng qua đường thẳng d.