Luyện tập (trang 8-9) - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 6 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

Bài giải:

a. Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có đạo hàm: y'=x²-4x+4= (x-2)²≥0, ∀x

y'=0 chỉ tại x = 2

=> Hàm số đồng biến trên R.

b. Hàm số đã cho xác định trên R.

y'= -4x²+12x-9 = - (2x-3)²≤ 0, ∀x ∈R; y'=0 chỉ tại x = 3/2

=> Hàm số nghịch biến trên R.

c. Hàm số đã cho xác định trên D = R \ {5}

Ta có đạo hàm:

Nên hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 5) và (5; +∞)

Tập xác định: D= [0; 2]

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [0; 2]

Đạo hàm

y’=0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên [0; 1] và nghịch biến trên [1; 2]. Hoặc có thể nói hàm số đồng biến trên (0; 1) nghịch biến trên (1; 2).

Vì (x²-2x+3 = (x-1)²+2 > 0 ∀x ∈R)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1), đồng biến trên (1; +∞)

f. Hàm số xác định trên D = R \ {-1}

∀x ∈D nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; -1)và (-1; +∞)

Bài 7 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): CMR: hàm số f (x) = cos⁡2x - 2x + 3 nghịch biến trên R.

Bài giải:

f (x) xác định và liên tục trên R nên liên tục trên mỗi đoạn

f’ (x) = 0 < => sin 2x = -1 < => 2x = -π /2+k2 π < => x=-π /4+k π, k ∈Z

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn

=> Hàm số nghịch biến trên R.

Bài 8 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cmr bất đẳng thức sau:

+) sin ⁡x< x với mọi x > 0;

+) sin x > x với mọi x < 0.

Bài giải:

a.

+) Xét hàm số f (x) = x - sin⁡x hàm số này liên tục trên R.

+ Xét hàm số trên nửa khoảng

Đạo hàm f’ (x) = 1 - cos⁡x > 0

=> Hàm số đồng biến trên

Từ (1) và (2) suy ra, x > sin x với x > 0.

+) Xét hàm số y= x - sin x liên tục trên R.

+ Hàm số f (x) = x – sin x trên có đạo hàm f’ (x) = 1 - cos x > 0

=> Hàm số đồng biến trên

⇒ f (x) < f (0) hay x- sin x

+ Hiển nhiên: x < sin x với mọi

Từ (3) và (4) suy ra; x < sin x với mọi x < 0

b. Hàm số xác định trên R và có đạo hàm g’ (x) = x – sin x

Dựa vào ý a) và chú ý x- sin x = 0 ⇔ x = 0, ta có bảng biến thiên của hàm g (x)

Tập xác định D = R và có đạo hàm

Suy ra, h (x) đồng biến trên R.

Bài 9 (trang 9 sgk Giải Tích 12 nâng cao): CMR: sin⁡x + tan⁡x > 2x với mọi x ∈ (0; π /2)

Bài giải: Bài trước: Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Bài 2: Cực trị của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao