Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 40 (trang 43 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x³+3x²-4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Bài giải:

a) TXĐ: R

y'> 0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-2; 0)

+ y_CĐ = y (-2) = 0; y_CT = y (0) = -4

+ lim_x→-∞⁡y = -∞; lim_x→+∞ y = +∞

+ y'' = 6x+6 = 6 (x+1) = 0 ⇔ x = -1

Bảng xét dấu y’’

X	-∞		-1		+∞
Y’’		-	0	+
Đồ thị		Lồi	điểm uốn U (-1; -2)	lõm

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)

Hàm số lõm trên khoảng (-1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn U (-1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b) Hàm số y = x³+3x²-4 có điểm uốn U (-1; -2)

Ta có: y' = 3x² + 6x; y’ (-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U (-1; -2) có dạng:

y-y₀=y' (x₀) (x-x₀)

⇔ y+2=-3 (x+1)

⇔ y=-3x-5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x - 5.

c) Cách 1. Đồ thị nhận U (-1; -2) là tâm đối xứng:

⇔ f (x₀+x)+f (x₀-x)=2y₀ với ∀x

⇔ f (x-1)+f (-x-1)=-4 ∀x

⇔ (x-1)³+3 (x-1)²-4+ (-1-x)³+3 (-1-x)²-4 =-4 ∀x

⇔ x³-3x²+3x-1+3x²-6x+3-4-1-3x-3x²-x³+3+6x+3x²-4=-4 ∀x

⇔ -4 = - 4 ∀ x

⇒ I (-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Cách 2. Gọi U (-1; -2) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến OU giữa các tọa độ cũ.

Theo công thức đổi trục tọa độ

Phương trình trở thành Y = X³-3X đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng ⇒ Điều phải chứng minh.

Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x³+3x²-1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x³+3x²-1=m

Bài giải:

a) Hàm số y=-x³+3x²-1 có tập xác định D = R

y'=-3x²+6x

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)và (2; +∞)

y_CĐ=y (2)=3; y_CT=y (0)=-1

y''=-6x+6; y''=0 => x = 1

- Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1) lõm trên khoảng (1; +∞)

- Hàm số có một điểm uốn I (1; 1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua (0; -1)

b) Phương trình: -x³+3x²-1=m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y=-x³+3x²-1 với đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu -1 < m < 3: Phương trình (*) có 3 nghiệm

- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Kết luận:

Bài 42 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài giải:

a) TXĐ: D=R

y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 3)

y_CT=y (3)=-32/3; y_CĐ=y (-1)=0

y''=2x-2=2 (x-1)=0 < ⇒ x = 1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1).

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u (1; -16/3)

Bảng biến thiên

- Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0; -5/3); (5; 0)

b) TXĐ: D = R

y'=3x²-3=0

⇒ x=±1

y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (1; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 1)

y_CĐ=y (-1)=3; y_CT=y (1)=-1

Bảng xét dấu y’’

X	-∞		0		+∞
Y’’		-	0	+
Đồ thị	Lồi		điểm uốn u (0; 1)	lõm

Hàm số có 1 điểm uốn U (0; 1)

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đi qua (0; 1)

+ TXĐ: D = R.

y'=-x²+2x-2=- [(x-1)²+1]< 0 ∀x ∈ D

- Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

- Hàm số không có cực trị

- Đồ thị không có tiệm cận.

y''=-2x+2; y''=0 ⇒ x = 1

- Hàm số lồi trên (1; +∞), lõm trên (-∞; 1) và nhận I (1; -2) làm điểm uốn.

Bảng biến thiên.

d) y=x³-3x²+3x+1

TXĐ: D = R

y'=3x²-6x+3=3 (x-1)²> 0 ∀x ∈ D

- Hàm số luôn đồng biến (-∞; +∞)

- Hàm số không có cực trị

lim_x→-∞⁡y = + ∞; lim_x→+∞⁡ y = - ∞

- Đồ thị không có tiệm cận

y'' = 6x-6; y'' = 0 ⇒ x = 1

- Đồ thị lồi trên (-∞; 1)

- Đồ thị lõm trên (1; +∞)

Đồ thị nhận I (1; 2) làm tâm đối xứng.

Bảng biến thiên

Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=-x⁴+2x²-2

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x⁴+2x²-2=m

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.

Bài giải:

a) TXĐ: D=R

* y'=-4x³+4x=4x (-x²+1)=0

y'> 0 trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

y'< 0 trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

y_CT = y (0) = -2; y_CĐ = y (-1) = y (1) = -1

lim_x→-∞⁡y = -∞; lim_x→+∞⁡y = -∞

* y''=-12x²+4 = 4 (-3x²+1) = 0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)

b) Số nghiệm của Phương trình -x⁴+2x²-2=m (1) là giao điểm của đồ thị y=-x⁴+2x²-2 với đường thẳng y = m.

Nếu m > -1 thì phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

Nếu -2 < m < -1 thì phương trình có 4 nghiệm.

Nếu m = -2 thì phương trình (1) có 3 nghiệm

Nếu m < -2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm

Kết luận:

m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (1) có 2 nghiệm.

m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

c) Hàm số y = -x⁴+2x²-2 có 2 điểm uốn đó là:

Phương trình tiếp tuyến uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:

Bài 44 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x⁴-3x²+2 b) y=-x⁴-2x²+1

Bài giải:

a) TXĐ: D=R

• Bảng xét dấu y’’

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

Giao với Oy tại điểm có tọa độ (0; 2)

Giao với Ox tại (-1; 0); (1; 0); (-√ 2; 0); (√ 2; 0)

b) y = -x⁴-2x²+1

TXĐ: D=R

y' = -4x³ - 4x = 4x (x² + 1) = 0 ⇔ x = 0

y'> 0 trên khoảng (-∞; 0), y'< 0 trên khoảng (0; +∞)

y_CĐ=y (0)=1

lim_x→-∞⁡y = -∞; lim_x→+∞⁡y = -∞

y'' = -12x²-4 < 0 ∀x ∈R

Bảng xét dấu y’’

X	-∞	-	+∞
Y’’		Lồi
Đồ thị

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)

Bài trước: Luyện tập (trang 36) - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Luyện tập (trang 44-45) - Giải BT Toán 12 nâng cao