Luyện tập (trang 57-58) - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 62 (trang 57 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.
Bài giải:a) TXĐ: D = R \ {-1}
Sự biến thiên:
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên D.
Giới hạn:
⇒ Đồ thị có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
⇒ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số 
Giao với Ox tại điểm có tọa độ (1; 0); Giao với Oy tại điểm có tọa độ (0; -1)
b) Ta có giao điểm của 2 tiệm cận I (-1; 1)
Áp dụng công thức đổi trục
Thay vào hàm số
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đã cho nhận I (-1; 1) làm tâm đối xứng.
Bài 63 (trang 57 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số 
b) Chứng minh rằng đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố đinh của đường cong (H) khi m biến thiên.
c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Bài giải:
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
⇒ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1/2
Lại có: 
⇒ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1/2
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số: 
; Giao với Ox tại điểm có tọa độ (-2; 0); Giao với Oy tại điểm có tọa độ (0; 2)
b) Gọi điểm cố định mà đường thẳng y = mx+m-1 luôn đi qua là I.
Cách 1:
thay vào phương trình y=mx+m-1
Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m khi và chỉ khi:
Vậy đường thẳng y = mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố định I = (-1; -1) của đường cong (H) khi m biến thiên.
Cách 2:
Tìm điểm cố định của đường thẳng y= mx + m- 1.
Ta lại thấy điểm I thuộc đồ thị (H). => đường thẳng y= mx + m- 1 luôn đi qua 1 điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.
c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:
Để đường thẳng y= mx + m-1 cắt đường cong (H) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi và chỉ khi:
⇒ Phương trình vô nghiệm
Vậy với m < -3 hoặc -3 < m < 0 thì đường thẳng sẽ cắt (H) tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (H).
Bài 64 (trang 57 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho hàm số 
a) Tìm a và b biết đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua qua điểm A (-1; 5/2) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O (0; 0) có hệ số góc bằng -3.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.
Bài giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm O (0; 0) của đồ thị (C) ta có:
k=y' (0)=-3 < => b=-3 (1)
Mặt khác, ta có đồ thị hàm số (C) qua điểm A (-1; 5/2)
Từ (1) thế vào (2) ta được:
Vậy ta có giá trị của a, b là: a = -2; b = -3
Khi đó, phương trình của hàm số là 
b) Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số (C).
TXĐ: D = R \ {1}
=> y < 0 ∀x ∈ R \ {1}
Vậy đồ thị có hàm số một tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 1.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là đường thẳng y=-2x+1.
Bảng biến thiên:
Bài 65 (trang 58 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thì hàm số: 
b) Với giá trị nào của m đường thẳng y = m-x cắt đồ thị của hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt?
c) Gọi A và B là 2 giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB nói trên m thay đổi.
Bài giải:a) TXĐ: D = R \ {1}
Sự biến thiên:
Đạo hàm:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) và (1; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCĐ = -1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và yCT = 7
Giới hạn: limx→1+ y = +∞; limx→1-y=- ∞
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là đường thẳng: y=2x+1
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=m-x và đồ thị hàm số nghiệm của Phương trình:
< => (m-x)(x-1)=2x2-x+1, x ≠ 1
< => f (x)=3x2-x (2+m)+m+1=0, f (1) ≠ 0
Để đường thẳng (C) tại 2 điểm phân biệt thì: Δ > 0 và f (1) ≠ 0
Ta có: Δ = (2+m)2-4.3(m+1)> 0
⇔ m2-8m-8> 0
Lại có: f (1) = 2 ≠ 0 với mọi m. (2)
Từ (1) và (2) suy ra, với
c) Gọi A (xA;yA), B (xB,yB) là hai giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C)
gọi M (xM;yM) là trung điểm của AB
Mà điểm M thuộc đường thẳng y= m- x (vì đường thẳng AB chính là y = m - x)
⇒ yM = m – xM = 6xM – 2 – xM = 5xM – 2
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn AB khi m biến thiên là: y=5x-2
Bài 66 (trang 58 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các hệ số a, b parabol y=2x2+ax+b tiếp xúc với hypebol y=1/x tại điểm M (1/2; 2)
Bài giải:Tiếp điểm M chính là nghiệm của hệ phương trình:
Thay hoành độ của tiếp điểm (M) vào hệ phương trình (I) khi đó (I) trở thành:
thì parabol sẽ tiếp xúc với hyperbol tại điểm M.Bài 67 (trang 58 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Một tạp chí có giá 20 nghìn đồng muột cuốn. Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chị (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, …) được cho bởi C (x) = 0,0001x0-0,2x+10000
C (x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí hành cho mỗi là 4 nghìn đồng.
1. a) Tính tổng chi phí T (x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.
b) Tỉ số M (x) = T (x)/x được gọi là chi phí trung bình cho chi phí trung bình là thấp nhất.
2. Các khoản thu bao gồm tiền sách và 90 triệu đồng nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp của báo chí. Giả sử số cuốn in ta đều bán được hết.
a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi x cuốn tạp chí là: L (x)=-0,0001x2+1,8x-1000
b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?
c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó.
Bài giải:1. a) Chi phí phát hành cho x cuốn sách là 0,4x (đơn vị vạn đồng). Vậy tổng chi phí T (x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí là:
T (x)=C (x)+0,4x=0,0001x2+0,2x+10000
b)
Để chi phí trung bình là thấp nhất thì cần xuất bản 10.000 cuốn tạp chí.
2. a) Số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là:
L (x)=2x+9000-T (x)=2x+9000- (0,0001x2+0,2x+10000)
=-0,0001x2+1,8x-1000
b) Để có lãi thì L (x) > 0
< => -0,0001x2+1,8x-1000 > 0
< => 573 < x < 17427
c) L (x) = -0,0002x +1,8; L' (x)=0 < => x=9000
Hàm số L (x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 9000. Vậy in 9000 cuốn sách thì lãi nhiều nhất.
Và số tiền lãi là: L (9000) = 71.000.000 đồng.