Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng - Giải BT Toán 12 nâng cao

Kz là một số phức có modun là |Kz| = |K|. |z| = |K|. r, có acgumen là φ nếu K > 0, là φ + π nếu k < 0.

Vậy Kz = |K|. r (cos⁡φ + isin φ) nếu k > 0

Kz = |K|r. (cos⁡ (φ + π) + isin (φ + π) nếu k < 0

Bài 28 (trang 205 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Viết phương trình sau dưới dạng lượng giác.

a) 1 - i √ 3; 1 + i; (1 - i √ 3) (1 + i); (1 - √ 3 i)/ (1 + i).

b) 2i (√ 3 - i)

c) 1/ (2 + 2i)

d) z = sin⁡α + cos⁡α (α ∈ R)

Bài 29 (trang 206): Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn (1+i)¹⁹ và công thức Moa-vrơ để tính:

Theo nhị thức Nui tơn ta có:

Áp dụng công thức Moa- vrơ ta có:

So sánh (1) và (2) ta có:

Bài 30 (trang 206): Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i; z' = (3 - √3) + (1 + 3√3)i

a) Tính z'/z

b) CMR hiệu số acgumen của z’ với acguemn của z là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’). Tính số đo đó.

Từ (1) và (2) ta có: cos⁡ (α' - α) = cos⁡ (OM, OM') nên kí hiệu α'-α là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’) và số đo là: .

Bài 31 (trang 206 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho các số phức:

a) CMR: là các nghiệm của Phương trình z³ - w = 0

b) Biểu thức số học các số phức z₀;z₁;z₂

Vậy z₀³ - w = 0 hay z₀ là một nghiệm của phương trình: z³ - w = 0

Vậy z₁³ - w = 0 hay z₁ là một nghiệm của phương trình: z³ - w = 0

Vậy z₂³ - w = 0 hay z₂ là một nghiệm của phương trình: z³ - w = 0

b) Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số:

Nhận xét: 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác đều.