Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ - Giải BT Toán 12 nâng cao

=> Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, -1/2) và (1/2; +∞)

Hàm số không có cực trị.

Vậy đường thẳng x=-1/2 là tiệm cận đứng.

Và đường thẳng y=1/2 là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao với Ox là A (2; 0)

Đồ thị giao với Oy là B (0; -2)

b) Giao điểm của hai tiệm cận

Áp dụng công thức đổi trục tọa độ

Khi đó hàm số đã cho trở thành

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là điểm I ⇒ Điều phải chứng minh.

Bài 50 (trang 49 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

Bài giải:

a) TXĐ: D = R \ {1}

Suy ra, hàm số luôn nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞)

Hàm số không có cực trị

Ta có:

Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y= 1 làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Đồ thị giao với Ox là A (-1; 0)

Đồ thị giao với Oy là B (0; -1)

Đồ thị nhận I (1; 1) làm tâm đối xứng.

Hàm số luôn đồng biến trên (-∞; 1/3) và (1/3; +∞)

Hàm số không có cực trị.

Vậy đường thẳng y=-2/3 là tiệm cận ngang

Vậy đường thẳng x=1/3 là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên

Đồ thị

+ Giao với Ox là A (-1/2; 0)

+ Giao với Oy là B (0; 1)

Đồ thị nhận I (1/3; -2/3) làm tâm đối xứng.

Bài 51 (trang 49 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của nó.

c) Tùy giá trị của m, em hãy biện luận số nghiệm của phương trình

Bài giải:

a) TXĐ: D = R \ {-2}

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -3) và (-1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-3; -2)và (-2; -1)

y_CĐ = y (-3) = -7

y_CT = y (-1) = 1

Vậy đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng.

Vậy đường thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên.

Đồ thị giao với Oy là A (0; 2)

Đi qua B (-1; 1)

b) Giao điểm của 2 đường tiệm cận I (-2; -3)

Áp dụng công thức trục tọa độ

Khi đó hàm số đã cho có phương trình

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là điểm I.

C) Xét phương trình

Suy ra, số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra:

+ -m > 1 ⇔ m < -1, đường thẳng y = -m cắt đồ thị tại 2 điểm ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ -7 < -m < 1 ⇔ -1 < m < 7, đường thẳng y = -m không cắt đồ thị ⇒ Phương trình vô nghiệm.

+ -m < -7 hay m > 7, đường thẳng y = -m cắt đồ thị tại 2 điểm ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ Nếu thì đường thẳng y= - m cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.

Kết luận:

m=-1, m=7 phương trình có 1 nghiệm.

-1< m< 7 phương trình vô nghiệm.

Bài 52 (trang 50 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài giải:

a) TXĐ: D = R \ {1}

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) và (1; 3)

y_CĐ=y (-1)=-5; y_CT=y (3)=3

Vậy đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên

Đồ thị giao với Oy (0; -6)

Đồ thị đi qua A (-3; -6)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1)và (1; 2)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 0) và (2; +∞)

y_CĐ = y (2) = -7; y_CT = y (0) = 1

Vậy đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên.

Đồ thị đi qua điểm A (-1; 2) và B (2; -7)

c) TXĐ: D = R \ {-2}

Vậy hàm số luôn đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞)

Vậy đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên.

Đồ thị giao với Oy A (0; -3/2)

Đi qua B (-1; -4)

d) TXĐ: D = R \ {1}

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên (-∞; 1) và 1; +∞)

Vậy đường thẳng y = -x + 2 là tiệm cận xiên

Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên.

Hàm số đi qua A (0; 1) và B (2; 1)