Luyện tập (trang 50) - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 53 (trang 50 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của A với trục tung.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm A.

Bài giải:

a) TXĐ: D = R \ {2}

Vậy hàm số đã cho luôn nghịch biến trên (-∞, 2) và (2; +∞)

Vậy x = 2 là tiệm cận ngang.

Lại có:

Do vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng y =1 làm tiệm cận ngang

Bảng biến thiên.

Đặc biệt A (0; - 1/2); B (-1; 0)

b) Do A là giao điểm của đồ thị với trục tung A (0; -1/2) => Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng:

c) Gọi ∆ là tiếp tuyến song song với d nên ∆ có hệ số

=> Phương trình tiếp tuyến Δ có dạng

Vì Δ là tiếp tuyến của (C) nên ta có:

Khi đó, phương trình đường thẳng ∆ là:

Bài 54 (trang 50 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số

b) Từ đồ thị hàm số (H) suy ra cách vẽ đồ thị

Bài giải:

Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)

Vậy đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng.

Và đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Đặc biệt A (0; 0); B (1; 1/2)

⇒ Cách vẽ đồ thị (C₁):

Lấy đối xứng đồ thị (C₂) qua trục hoành ta được đồ thị (C₁)

Bài 55 (trang 50 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số dá cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A (3; 3)

Bài giải:

=> Hàm số luôn đồng biến trên (-∞; 1)và (1; +∞)

Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên

Đồ thị:

Giao với Ox: (-1; 0); (2; 0)

Giao với Oy: (0; 2)

b) Gọi Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A (3; 3) có dạng:

y - 3 = k (x-3)

< => y = k (x-3)+3

(d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Thế (2) vào (1) ta được:

* Với x = 2 thay vào (2) ta được k = 3. Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 3 (x- 3) + 3 hay y = 3x – 6

* Với x = 4/3 thay vào (2) ta được k = 19. Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 19 (x - 3) + 3 hay y= 19x - 54

Bài 56 (trang 50 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Từ đồ thị hàm số đã cho suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

Bài giải:

a) TXĐ: D = R \ {-1}

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-2; -1) và (-1; 0)

y_CĐ = y (-2) = -4; y_CT = y (0) = 0

Vậy đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng.

Vậy đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên.

Đồ thị

Do đó (H) được suy ra từ (C) như sau

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) với x > -1. Ta được phần đồ thị (H₁)

+ Lấy đối xứng phần còn lại của đồ thị (C) (tức với x < -1) qua trục hoành. Ta được phần đồ thị (H₂).

+ Hợp hai phần (H₁) và (H₂) ta được đồ thị (H).

Bài trước: Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Bài 8: Một số bài toán thường gặp về đồ thị - Giải BT Toán 12 nâng cao