Bài 3: Phép vi tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 11 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao): CMR phép vị tự biến một đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song a thành đường thẳng a’. hơn nữa (α) thành một mặt phẳng (α') song song hoặc trùng với α.

Giải đáp:

- Do phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng nên nó biến đường thẳng a thành a’. Hơn nữa a’ song song hoặc trùng với a.

Thật vậy, trên a lấy điểm A, B; Giả sử V_{0, k} biến A thành A’ biến B thành B’.

Ta có:

- Trường hợp 1: k = 1 và O ∈ a thì A’B’ = AB hay a = a’.

- Trường hợp 2: k ≠ 1 và O ∉ a thì A’B’ // AB hay a’ // a

Phép vị tự V_{0, k} biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau. Vậy nó biến mặt phẳng (α) thành mặt phẳng (α'). Hơn nữa mặt phẳng (α') song song hoặc trùng với mặt phẳng (α). Thật vậy:

- Nếu O ∈ (α) thì V_{0, k} biến A ∈ (α) thành A’ sao cho OA'→=kOA→.

=> A'∈ OA hay A' ∈ mp (α) suy ra mp (α') = mp (α).

- Nếu k =1 thì V_{(O, 1)}(A) = A’ hay ⇒ A ≡ A'

Vậy qua V_{(0, k)} biến mp (α) thành mp (α') = mp (α).

- Nếu O ∈ mp (α) và k ≠ 1. Trên mp (α) lấy hai đường thẳng a, b cắt nhau tại I.

Qua phép vị tự tâm O tỉ số k:

+ Biến hai đường thẳng a, b thành 2 đường thẳng a’, b’ song song hoặc trùng với a, b

+ Biến giao điểm I thành điểm I’ là giao điểm của hai đường thẳng a’ và b’.

+ Biến mp (α) thành mp (α’) chứa hai đường thẳng a’và b’.

Suy ra, mp (α) // mp (α’).

Bài 12 (trang 20): Cho một khối tứ diện đều, cmr:

a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều

Giải đáp:

a) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC.

Theo tính chất của trọng tâm tứ diện đều, ta có:

Nên V_{(G, -1/3)} biến A, B, C, D lần lượt thành A’, B’, C’, D’

hay V_{(G, -1/3)} biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ nên A’B’C’D’ là tứ diện dều.

b) Xét tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD.

* Xét tam giác ABC có M, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

⇒ ME là đường trung bình của tam giác ABC nên:

Chứng minh tương tự ta có:

Suy ra, tam giác MNE là tam giác đều.

* Chứng minh tương tự, các tam giác ENP, EQP, EMQ, MNF, FNP, FQP, FMQ là các tam giác đều.

* Các mặt này tạo thành khối đa diện có các đỉnh M, N, P, Q, E, F mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh.

Vậy M, N, P, Q, E, F là các đỉnh của một khối 8 mặt đều.

Bài 13 (trang 20): Hai đỉnh của một khối tám mặt đều cho trước gọi là các đỉnh khối diện nếu chúng không thuộc cùng một cạnh của khối diện đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo của khối tám mặt đều. CMR trong khối tám mặt đều:

a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Ba đường chéo đôi một vuông góc.

c) Ba đường chéo bằng nhau.

Giải đáp:

Xét khối 8 mặt đều ABCDEF cạnh a. Vì A, B, C, D cách đều E và F nên A, B, A, D cùng thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn EF và do đó ABCD là hình thoi (vì AB = BC = CD = DA)

Vì A, B, C, D cách đều E và F (EA = EB = EC = ED = FA = FB = FC = FD = a)

nên A, B, C, D cùng thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn EF và ABCD là hình thoi (vì AB = BC = CD = DA = a).

a) Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Tương tự, AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Tứ giác ABCD là hình thoi nên ta cũng có AC ⊥ BD

Tương tự AC ⊥ EF, BD ⊥ EF.

Vậy AC, BD, EF đôi một vuông góc.

c) Cách 1. Dễ thấy Δ ABD = Δ EBD (c-c-c) nên các trung tuyến tương ứng bằng nhau tức là AO = EO.

=> AC = EF, tương tự, AC = BD.

Vậy AC = BD = EF (đpcm).

Cách 2. Vì EO ⊥ (ABCD) nên AO, OB là hình chiếu của EA, EB trên (ABCD)

Mà EA = EB ⇒ OA = OB ⇒ AC = DB.

Tương tự, AC = EF.

Vậy AC = BD = EF.

Bài 14 (trang 20): CMR:

a) Tâm các mặt của khối lập phương cho trước là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

b) Tâm các mặt của một khối tám mặt đều cho trước là các đỉnh của khối lập phương.

Giải đáp:

a) Xét khối lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆ lần lượt là tâm của các mặt phẳng ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D.

Ta có: O₁ là trung điểm của BD, O₃ là trung điểm của A’B’ nên:

Tương tự: O₁O₄ = O₁O₅ = O₁O₆ = O₃O₄ = O₄O₅ = O₅O₆ = O₁O₆ = O₃O₄ = O₄O₅ = O₅O₆ = O₆O₃ = O₂O₃ = O₂O₄ = O₂O₅ = O₂O₆ = (a√2)/2

Do đó, các tam giác O₁O₃O₆; O₁O₆O₅; O₁O₅O₄; O₁O₃O₄; O₂O₃O₆; O₂O₆O₅; O₂O₅O₄; O₂O₃O₄ là các tam giác đều cạnh.

Chúng làm thành khối tám mặt đều (đpcm).

b) Xét khối tám mặt đều ABCDEF. Gọi O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆, O₇, O₈ lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Ta có: O₁,O₂ là trọng tâm Δ EAB, EBC nên:

=> O₁ O₂ // MN

=> O₁ O₂ // O₃ O₄ và O₁ O₂ = O₃ O₄

=> Tứ giác O₁ O₂ O₃ O₄ là hình bình hành.

Lại có: O₁ O₄ // BD, O₁ O₄ = BD/3 kết hợp (*) và lưu ý rằng.

AC = DB, AC ⊥ BD => O₁ O₂=O₁ O₄, O₁ O₂ ⊥ O₁ O₄ nên tứ giác O₁ O₂ O₃ O₄ là hình vuông.

- Hoàn toàn tương ứng ta có: O₁ O₂ O₆ O₅,O₂ O₃ O₇ O₆,O₃ O₄,O₈ O₇,O₄ O₁ O₅ O₈,O₅ O₆ O₇ O₈ là các hình vuông.

Vậy O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆, O₇, O₈ là các đỉnh của một khối lập phương.

Bài trước: Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Bài 4: Thể tích của khối đa diện - Giải BT Toán 12 nâng cao