Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 2 - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 85 (trang 130 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho x < 0. CMR:

Bài 86 (trang 130 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tính:

Bài 87 (trang 130 sgk Giải Tích 12 nâng cao): CMR: log²⁡3 > log³⁡4

Ta có: log₂⁡3> 0; log₃⁡4> 0. Bất Phương trình log₂3 > log₃4 tương đương

Mặt khác:

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài 88 (trang 130 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh của một tam giác vuông. CMR: log^b+c⁡a+log^c-b⁡a=2 log^b+c⁡a. log^c-b⁡a

Bài 89 (trang 131 sgk Giải Tích 12 nâng cao): CMR: Thỏa mãn hệ thức xy^x + 1 = e^y

Bài 90 (trang 131 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giả sử đồ thị (G) của hàm số

cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị G tại A là:

Trong tam giác OAB, ta có:

=> diện tích tam giác OAB là:

Cách khác:

Tiếp tuyến tại A có phương trình:

=> Tọa độ của B là nghiệm của hệ Phương trình

Bài 91 (trang 131 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y = log_a⁡x. Trong hai khẳng định a > 1 và 0 < a < 1, khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Tại sao?

a) M có tọa độ (0,5; -7)

b) M có tọa độ (0,5; 7)

c) M có tọa độ (3; 5,2)

d) M có tọa độ (3; -5,2)

Nhận xét:

* Áp dụng tính chất của hàm số logarit đồng biến trên (0; +∞) khi a > 1, nghịch biến trên (0; +∞) khi 0 < a < 1.

* Với mọi a > 0, a ≠ 1 đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A (1; 0) tức là log_a1= 0 (1).

a) Ta có log_a 0,5 = - 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 1 > 0,5 và 0 > - 7

⇒ Hàm số đồng biến trên (0; +∞) nên a > 1.

b) Ta có: log_a0,5 = 7 (3)

Từ (1) và (3) ta có: 1 > 0,5 nhưng 0 < 7

⇒ Cơ số a thỏa mãn: 0 < a < 1

c) Ta có log_a3 = 5,2 (4)

Từ (1) và (4) ta có: 1 < 3 và 0 < 5,2

⇒ Cơ số a > 1.

d) Ta có: log_a3 = -5,2. (5).

Từ (1) và (5) ta có: 1 < 3 nhưng 0 < -5,2

⇒ Cơ số a thỏa mãn: 0 < a < 1

Bài 92 (trang 131 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitrogen 14. Biết rằng nếu gọi P (t) là số phần trăm các bon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây xanh sinh trưởng từ t năm trước P (t) được tính theo công thức P (t)=100. (0,5)^1/5750 (%). Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Bài 93 (trang 131 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải phương trình:

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là:

Bài 94 (trang 131 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải các phương trình:

Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:

b) log₂(4.3^x-6)-log₂⁡ (9^x-6)=1

Phương trình tương đương:

Với điều kiện trên phương trình tương đương với:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {13}

d) ĐKXĐ: x > 2. Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Bài 95 (trang 132 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải Phương trình 4^x - 3^x = 1

Phương trình tương đương với

Dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình, ta chứng minh x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Thật vậy:

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Bài 96 (trang 132 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải các hệ phương trình:

a) ĐKXĐ; x-y> 0; x+y> 0; y ≠ 3

Hệ Phương trình tương đương với

Kết hợp với điều kiện, vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (6; 2)

b) Đặt u = log₂⁡x; v = 3^x (v > 0) ta có hệ Phương trình:

Vậy hệ Phương trình có nghiệm (x, y) là (512; 1)

Bài 97 (trang 132 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải các bất phương trình: