Câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 9 (trang 212):

a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2^x,y = (√ 2)^x; y = (√ 3)^x trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Hãy nhận xét vị trị tương đối của ba đồ thị.

b) Vẽ đồ thị y = log₃x. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số y = 2 + log₃⁡x và đồ thị của hàm số y = log₃(x + 2).

Bài giải:

a) Vẽ đồ thị các hàm số: y = 2^x, y = (√ 2)^x; y = (√ 3)^x

Nhận xét:

Trong khoảng (-∞; 0) đồ thị sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới là: y = (√ 2)^x; y = (√ 3)^x; y = 2^x

Đồ thị cả 3 hàm số đi qua điểm (0; 1)

Khoảng (0; +∞) đồ thị sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới là:

y = 2^x, y = (√ 3)^x; y = (√ 2)^x

Như vậy “độ dốc” của đồ thị hàm số tăng theo giá trị cơ số: √ 2 < √ 3 < 2.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = log₃⁡x (C)

Đồ thị hàm số y = 2 + log₃x có được bằng cách tịnh tiến (C) lên trên theo phương Oy 2 đơn vị.

Đồ thị hàm số y = log₃(x + 2) có được bằng cách tính tiến (C) sang bên trái theo phương Ox 2 đơn vị.

Bài 10 (trang 212): Giải các phương trình sau:

Bài giải:

a) Phương trình: 81^sin2⁡x + 81^cos2x = 30

< => 81^sin2⁡x + 81^1-sin2⁡x = 30

Đặt t = 81^sin2⁡x, t > 0, ta có Phương trình: t + 81/t = 30

< => t² - 30t + 81 = 0

< => t = 27; t = 3

Với t = 27 => 81^sin2⁡x = 27

< => 3^{4 sin2⁡x} = 3³

< => 4 sin²x = 3

Vậy Phương trình đã cho có 4 họ nghiệm:

b) Điều kiện: x > 0.

c) Điều kiện: x > 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Thay y = 1/3x vào (1) ta được.

Với x = 2 => y = 1/6. Vậy hệ có 1 nghiệm là:

Bài 11 (trang 213): Tập hợp xác định của các hàm số sau:

Bài giải:

a) Hàm số y = log⁡ (1 - log⁡ (x² - 5x + 16)) xác định khi:

< => x² - 5x + 6 < 0

< => x ∈ (2; 3)

Vậy tập xác định của hàm số là khoảng (2; 3)

Bài 12 (trang 213): Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau trên khoảng xác định của nó.

Bài giải:

a) Tìm F (x) = ∫x³(1 + x⁴)³dx. Đặt u = 1 + x⁴ => du = 4x³ dx

b) Tìm F (x) = ∫cosx. sin2x dx = 2 ∫cos²⁡x. sinxdx

Đặt cosx = u => -sinxdx = du. Ta có:

Bài 13 (trang 213): Tìm hàm số f (x) biết:

Bài giải:

Bài 14 (trang 213): Tính các tích phân sau:

Bài giải:

c) Theo công thức tích phân từng phần, ta có:

Bài 15 (trang 214): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.

a) y + x² = 0 và y + 3x² = 2

b) y² - 4x = 4 và 4x - y = 16

Bài giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng: y = -x² và y = -3x² + 2 là nghiệm của phương trình: -x² = -3x² + 2

< => x² = 1

< => x = ±1

Vậy diện tích cần tìm là:

b) Ta có: y² – 4x = 4

⇔ y² = 4x + 4

⇔

Và 4x - y = 16

⇔ y = 4x - 16

Diện tích cần tìm là S = S₁ - S₂ (hình vẽ)

Hai đường đã cho cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là 3 và 21/4

S₁ là diện tích hình phẳn giới hạn bởi đường y² - 4x - 4 = 0 và đường thẳng x = 21/4

Ta có:

S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường: y² = 4x + 4; y = 4x -16 và x = 21/4

Ta có:

Bài 16 (trang 213):

a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quang trục hoành.

b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x² + 1 và đường thẳng y = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.

Bài giải:

a) Thể tích cần tìm là:

b) Do y= x² + 1 nên x² = y - 1. Thể tích cần tìm là:

Bài 17 (trang 213): Cho các số phức z₁ = 1 + i; z₂ = 1 - 2i. Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức: z₁²; z₁ z₂, 2z₁-z₂, z₁.Z²−; và z₂/z₁.

Bài giải:

Ta có: z₁² = (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

z₁ z₂ = (1 + i)(1 - 2i) = 1 + 2 + i - 2i = 3 - i

2z₁ - z₂ = 2 (1 + i) - (1 - 2i) = 1 + 4i

z₁.¯ (z₂) = (1 + i)(1 + 2i) = -1 + 3i

Các điểm A, B, C, D, D lần lượt biểu diễn các số:

Bài 18 (trang 214): Tính

a) (√ 3 + i)² - (√ 3 - i)²

b) (√ 3 + i)² + (√ 3 - i)²

c) (√ 3 + i)³- (√ 3 - i)³

Bài giải:

a) (√ 3 + i)² - (√ 3 - i)² = (3 + 2 √ 3 i -1) - (3 - 2 √ 3 i - 1) = 4 √3 i

b) (√ 3 + i)² + (√ 3 - i)² = (3 + 2 √ 3 i - 1) + (3 - 2 √ 3 i - 1) = 4

c) (√ 3 + i)³ - (√ 3 - i)³ = (3 √ 3 + 9i - 3 √ 3 - i) - (3 √ 3 - 9i - 3 √ 3 + i) = 16i

Bài 19 (trang 214):

a) Xác định phần thực của số phức:

b) Cmr nếu:

Bài giải:

a) Giả sử z = a + bi với a² + b² = 1 và a + bi ≠ 1

Vậy số phức (z + 1)/ (z - 1) có phần thực = 0.

b) Theo câu a, ta có:

Nên (z + 1)/ (z - 1) là số ảo thì a² + b² - 1 = 0

< => a² + b² = 1

< => |z| = 1 (đpcm)

Bài 20 (trang 214): Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức (1 + i√ 3)z + 2, trong đó |z - 1| ≤ 2.

Bài giải:

Giả sử z = x + yi, vì |z - 1| ≤ 2 nên (x - 1)² + y² ≤ 4 (1)

Ta có:

w= (1 + √ 3 i)z + 2 = (1 + √ 3 i)(x + yi) + 2 = (x - √ 3 y + 2) + i (x√ 3 + y)

Gọi N là điểm biểu diễn số phức w

=> N (x - √ 3 y + 2; x√ 3 + y)

Từ (1) ta có: 4 [(x - 1)² + y²] ≤ 16

< => (x - 1)² + 3y²] + [3 (x - 1)² + y²] ≤ 16

< => (x - 1 - √ 3 y)² + (√3 (x - 1) + y)² ≤ 16

< => (x_N - 1)² + (y_N - √ 3)² ≤ 16.

Vậy tập hợp các điểm N nằm trong hình tròn có tâm A (1; √3) có bán kính R = 4.

Bài 21 (trang 214): Tìm căn bậc hai của mỗi số phức: -8 + 6i; 3 + 4i; 1 - 2√ 2 i

Bài giải:

Gọi a + bi là căn bậc hai của -8 + 6i, ta có:

(a + bi)² = -8 + 6i

< => (a² - b²) + 2abi = -8 + 6i

Vậy số -8 + 6i căn bậc hai là: 1 + 3i; -1 – 3i.

Tương tự, số 3 + 4i có căn bậc hai là: 2 + i; - 2 - i;

Số 1 - 2 √ 2 i có căn bậc hai là: √ 2 - i và - √ 2 + i

Bài 22 (trang 214):

a) Giải phương trình: z² - 3z + 3 + i = 0

b) Giải phương trình: z² - (cos⁡φ + i sin⁡φ)z + i sin⁡φcos⁡φ = 0

Bài giải:

a) Ta có biệt số ∆ = (-3)² - 4. (3 + i) = -3 - 4i = (2i - 1)² nên phương trình có hai nghiệm là z₁ = i + 1; z₂ = 2 - i

b) Ta có biệt hiệu số

∆ = (cos⁡φ + i sin⁡φ)² - 4i sin⁡φ. cos⁡φ

= cos² φ + 2i. cosφ. sinφ - sin²φ - 4isinφ. cosφ = cos⁡ (-2φ) + i sin⁡ (-2φ)

∆ có hai căn bậc hai là: cos⁡ (-φ) + i sin⁡ (-φ) và (-cos⁡ (-φ) - i sin⁡ (-φ)

Nên phương trình có nghiệm là:

Bài 23 (trang 214):

Bài giải:

Bài 24 (trang 214):

A. Đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

B. Nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

C. Đồng biến trên khoảng (-∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (3; +∞)

D. Nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) và đồng biến trên khoảng (3; +∞)

Bài giải:

Dấu của f’ (x) là dấu của tam thức x²-4x+3

Ta có bảng xét dấu f’ (x):

Vậy f (x) đồng biến trên (-∞; 1] và [3; +∞)

Đáp án đúng là: A.

Bài 25 (trang 215): Hàm số y = sin²x - 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:

A. -1/2

B. 0

C. -1

D. -1/3

Bài giải:

Ta có: f (x) = sin²x - 2sinx = (sinx - 1)² - 1 ≥ -1, ∀x dấu “=” xảy ra khi sinx = 1

< => x = π /2 + k2π; k ∈Z

Vậy f (x) có giá trị nhỏ nhất là -1

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 26 (trang 215): Gọi (C) là thị hàm số:

A. Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) khi x -> +∞

B. Đường thẳng y = x + 1/2 là tiệm cận xiên của C khi x -> +∞

C. Đường thẳng y = -x là tiệm cận của C khi x -> +∞

D. Đồ thị C không có tiệm cận xiên x -> +∞

Bài giải:

Gọi y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Vậy tiệm cận xiên là y = x + 1/2,

=> Đáp án đúng là: B.

Bài 27 (trang 215): Đồ thị hàm số y = x³ - x + 1 tiếp xúc tại điểm (1; 1) với.

A. Parabol y = 2x² - 1

B. Parabol y = x²

C. Parabol y = -x² + 2x

D. Đường thẳng y = 2x + 1

Bài giải:

Phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số y = x³ - x + 1 tại điểm (1; 1) là y = 2x - 1, đây cũng là phương trình tiếp tuyến của parabol y = x² tại điểm (1; 1). Vậy đồ thị hàm số tiếp xúc với (P): y = x² tại (1; 1)

= Đáp án đúng là: B.

Bài 28 (trang 215): Cho hai số dương a và b.

A. X > Y

B. X < l Y

C. X ≥ Y

D. X ≤ Y

Bài giải:

Với mọi số dương a, b ta có: (a + b)² ≥ 4ab, dấu “=” xảy ra khi a = b.

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 29 (trang 215): Cho 2 số dương không âm a và b.

A. X > Y

B. X < Y

C. X ≥ Y

D. X ≤ Y

Bài giải:

Với mọi số a, b, không âm ta có

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Vậy Y – X ≥ 0 < => Y ≥ X.

=> Đáp án đúng là: D.

Bài 30 (trang 215): Cho C là đồ thị hàm số y = log₂x, ta có thể suy ra đồ thị của hàm số log₂(x + 3) bằng cách tịnh tiến C theo vectơ.

A. v→= (3; 1)

B. v→= (3; -1)

C. v→= (-3; 1)

D. v→= (-3; -1)

Bài giải:

Gọi v→ = (a; b) là vectơ tịnh tiến cần tìm. Lấy 1 điểm A (x; log₂⁡x) bất kì thuộc C. Khi đó ảnh của A qua T là A’ (x + a; log₂x + b).

Để A’ thuộc đồ thị hàm số y = log₂⁡2 (x + 3) thì:

log₂⁡x + b = log₂2 (x + a + 3) đúng với ∀x > 0

< => log₂⁡x + b = 1 + log₂(x + a + 3) đúng với ∀x > 0

Suy ra b = 1 và a = -3. Vậy v→ = (-3; 1) là vectơ cần tìm.

=> Đáp án đúng là: C

Bài 31 (trang 216): Cho hàm số f (x) = log₅(x² + 1). Khi đó

Bài giải:

Ta có:

Đáp án đúng là: C.

Bài 32 (trang 216): Biết đồ thị hàm số y = a^x và đồ thị của hàm số y = log_b⁡x cắt nhau tại điểm (√ (2^-1); 2). Ta kết luận:

A. (a> 1 và b> 1)

B. a> 1 và 0 < b < 1

C. 0 < a < 1 và b > 1

D. 0 < a < 1 và 0 < b < 1

Bài giải:

Vì đồ thị hàm số y = a^x cắt đồ thị hàm số y = log_bx tại (√ (2^-1); √ 2) nên điểm (1/√ 2; √ 2) thuộc cả hai đồ thị đó.

Ta có:

=> Đáp án đúng là: B.

Bài 33 (trang 216):

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Bài 34 (trang 216): Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện:

A. a=π

B. a=√ π

C. a=2√ π

D. a=√ (2 π)

Bài giải:

Theo bài ra ta có: sin⁡ (a + a²) - sin⁡a² = sina

< => sin⁡ (a + a²) = sin⁡a² + sina

=> Đáp án đúng là: D.

Bài 35 (trang 216): Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thõa mãn điều kiện:

A. S = {1}

B. S = {2}

C. S = {1; 2}

D. S = ∅

Bài giải:

Theo công thức tính tích phân từng phần ta có:

Theo bài ra, ta có: (e -1)lnk - 1< e - 2

< => (e - 1) lnk < e - 1

< => lnk < 1

< => k < e

Vì k nguyên dương nên k = 1; k = 2.

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 36 (trang 217): Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Bài giải:

Giả sử z = a + bi, ta có:

α = (a + bi)² + (a - bi)² = 2a² vậy α ∈ R

β = (a + bi)(a - bi) + i (a + bi - a + bi) = a² + b² - b²) = a² ∈ R

=> Đáp án đúng là: A.

Bài 37 (trang 217): Cho số phức tùy ý z ≠ 1. Xét các số phức.

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Bài giải:

Giả sử z = a + bi (z ≠ 1), ta có:

Vậy α là một số ảo

Vậy β là một số thực.

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 38 (trang 217): Nếu mô đun của số phức z bằng r (r > 0) thì mô đun của số phức (1-i)² z. Bằng.

A. 4r

B. 2r

C. r √ 2

D. √ 2

Bài giải:

Ta có (1 - i)²z = (1 - 2i - 1)(a + bi) = 2b - 2ai) có mô đun là:

=> Đáp án đúng là B.