Luyện tập (trang 23-24) - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 21 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài giải:

a. Tập xác định: D= R.

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; f_CT= f (-1) = -1/2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1; f_CĐ= f (1) = 1/2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=-3/2; f (-3/2)=27/4

Hàm số không có cực đại

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; f_CĐ = f (0) = √5

Hàm số không có cực tiểu.

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên (- ∞; -1] và đồng biến trên [1; +∞)

Hàm số không có cực trị.

Bài 22 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các giá trị để hàm số đạt giá trị cực đại và cực tiểu.

Bài giải:

Tập xác định: D = R\ {1}

Đạo hàm:

Phương trình (*) có nghiệm x ≠ 1 < => 1² – 2.1 + 1- m ≠ 0 hay m ≠ 0

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, nghĩa là:

Vậy f (x) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m > 0

Bài 23 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G (x) = 0,025x² (30-x). Trong đó x là liếu lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhận (x lấy đơn vị là miligam). Tính liều lượng thuộc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.

Bài giải:

Ta có G (x) = 0,75x²-0,025x³;

G' (x) = 1,5x-0,075x²; G (x)' = 0 ⇔ x = 0; x = 20

Bảng biến thiên.

max_{x > 0}G (x) = G (20) = 100

Vậy liều lượng cần tiêm cho bệnh nhân huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg.

Khi đó, độ giảm huyết áp là 100

Vậy liều lượng cần tiêm cho bệnh nhân huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. khi đó, độ giảm huyết áp là 100.

Bài 24 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho parabol (P) y = x² và điểm A (-3; 0). Xác định điểm M thuộc Parabol (P) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.

Bài giải:

Gọi M (x; x²) là một điểm bất kì trên (P).

Ta có: AM² = (x+3)² + (x²)² = x⁴ + x² + 6x + 9

AM nhỏ nhất ⇔ f (x) = x⁴ + x² + 6x + 9 đạt giá trị nhỏ nhất.

f' (x) = 4x³ + 2x + 6 = (x+1)(4x² - 4x + 6)

f' (x) = 0 ⇔ x = -1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt nhỏ nhất tại điểm x = -1; f (-1) = 5.

Suy ra, khoảng cách AM đạt giá trị nhỏ nhất khi tọa độ điểm M (-1; 1). Lúc đó AM = √5

Bài 25 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt qua một khoảng cách là 300km. vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E (v) = cv³t. Trong đó, c là một hằng số, E được tính bằng Jun, tìm vận tốc của cá khi dòng nước đứng yên để tiêu hao năng lượng là ít nhất.

Bài giải:

Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng nước là v – 6 (km/h).

Thời gian cá bơi để vượt qua một khoảng cách 300 km là:

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là:

Bài toán trở thành tìm v > 6 để E (v) nhỏ nhất?

Bảng biến thiên

Vậy tiêu hao ít năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc 9 km/h (khi nước đứng yên).

Bài 26 (trang 23 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Sau khi phát hiện một bệnh dịch các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là:

f (t) = 45t² - t³; t = 0; 1; 2; 3…; 25.

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f’ (t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.

a. Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5.

b. Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó.

c. Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hớn 600.

d. Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 25]

Bài giải:

Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là:

f (t) = 45t²-t³, t nguyên thuộc đoạn [0; 25]

Để xét tốc độ truyền bệnh, xem f (t) là hàm số xác định trên đoạn [0; 25]

a. f' (t) = 90t - 3t² = 3t (30-t)

Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5 là: f’ (t) = 375 người/ngày

b. Bài toán trở thành tìm t ∈ [0; 25] để f’ (t) là lớn nhất.

Ta có: f’’ (t) = 90 – 6t; f’’ (t) = 0 ⇔ t = 15

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất là vào ngày thứ 15.

Tốc độ đó là f’ (15) = 675 người/ngày

c. Để f’ (t) > 600

⇔ 90t-3t²> 600

⇔ 10< t< 20

Từ ngày thứ 11 đến ngày thứ 19, tốc độ truyền bệnh là lớn hơn 600 người mỗi ngày.

Do f’ (t) = 3t (30 – t) > 0 với ∀ t ∈ (0; 25); f (t) liên tục trên [0; 25]

⇒ f (t) đồng biến trên [0; 25]

Bài 27 (trang 24 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bài giải:

Cách 1. Bảng biến thiên

So sánh giá trị trên ta được:

Bài 28 (trang 24 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định các hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài giải:

+) Cách 1:

Vì chu vi của hình chữ nhật là 40 cm nên kích thước là x, 20 -x (cm) (0 < x < 20)

Diện tích hình chữ nhậ trên là:

S (x) = x (20 – x) = 20x - x² x ∈ (0; 20)

S' (x) = 20-2x; S' (x) = 0 ⇔ x = 10

Bảng biến thiên:

Vậy trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40 cm, hình vuông có cạnh là 10 cm có diện tích lớn nhất.

+) Cách 2:

Hướng dẫn sử dụng bất đẳng thức cô – si.

Hai số dương a, b có tổng không đổi thì tích của chúng là lớn nhất khi và chỉ khi a = b

Cụ thể:

Gọi a, b là hai cạnh của hình chữ nhật, ta có a + b = 20 (a, b > 0)

Vậy hình vuông có cạnh 10 cm là diện tích lớn nhất (trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40 cm)

Bài trước: Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Bài 4: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ - Giải BT Toán 12 nâng cao