Luyện tập (trang 174-175) - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 34 (trang 174 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số y = x, y = 1 và y = x²/4 trong miền x ≥ 0; y ≤ 1

b) Đồ thị hai hàm số y = x⁴ - 4x² + 4; y = x², trục tung và đường thẳng x = 1

c) Đồ thị các hàm số y = x²,y = 4x - 4 và y = -4x - 4

Giải đáp:

a) Cách 1:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x và y = 1 là x = 1

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1 và đường cong y = x²/4 trong miền x ≥ 0 là x = 2.

Diện tích hình phẳng cần tìm chính là tổng diện tích tam giác cong OAC và tam giác cong ACB.

Diện tích tam giác cong OAC là:

Diện tích tam giác cong ACB là:

Vật diện tích hình phẳng cần tìm là:

Cách 2:

Gọi hình phẳng đã cho là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình x=2 √y, đường thẳng x = y và y = 0 và đường thẳng y = 1. Diện tích cần tìm là:

b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Vì x⁴ - 5x² + 4 = (x² - 1)(x² - 4) > -0 ∀x ∈ [0; 1]

c) Ta thấy đường thẳng y =-4x - 4 và đường thẳng y = 4x - 4 lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại các tiếp điểm có hoành độ x = -2 và x = 2

Do tính đối xứng qua Oy của parabol y = x² nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 lần diện tích tam giác cong OMT₂ và bằng:

Bài 35 (trang 175): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số y = x² + 1 và y = 3 - x

b) Các đường có Phương trình x = y³,y = 1, x = 8

c) Đồ thị hai hàm số y = √x, y = 6 - x và trục hoành.

Giải đáp:

a) Hoành độ giao điểm của hai đồi thị hàm số y = x²+1 và y = 3 - x là nghiệm của phương trình:

Vậy diện tích cần tìm là:

b) Tung độ giao điểm của đường cong x = y³ và đường thẳng x = 8 là nghiệm của phương trình y³ = 8 < => y = 2. Vậy diện tích cần tìm là:

c) Ta có: y = √x < => y² = x (y ≥ 0); y = 6 - x < => x = 6 – y

Tung độ giao điểm của hai đường thẳng x = y²; x = 6 - y là nghiệm của phương trình

Vậy diện tích cần tìm:

Bài 36 (trang 175): Tính thể tích vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x =π, biết rằng: Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là 2 √ (sin⁡x)

Giải đáp:

Diện tích thiết diện là:

Vậy thể tích của vật T cần tìm là:

Bài 37 (trang 175): Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x^2, y = 0, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Giải đáp:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức:

Vậy thể tích cần tìm là:

Bài 38 (trang 175): Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong y = cosx, y = 0, x = 0, x = π /4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình A quanh trục hoành.

Giải đáp:

Thể tích cần tìm là:

Bài 39 (trang 175): Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x. e^x/2,y = 0, x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Giải đáp:

Bài 40 (trang 175): Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khí quay hình B quanh trục tung.

Giải đáp: Bài trước: Bài 6: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3 - Giải BT Toán 12 nâng cao